2024年の暮れに深夜テレビを見ていました。番組表を表示するとNHKで「笑わない数学」という番組をやっていました。私は、数学好きなので、迷わずチャンネルを合わせてしまいました。そうするとパンサーの尾形さんが番組のMCをやっています。その番組の中で、次回は「コラッツ予想」についてやりますという案内がありました。そこで、コラッツ予想がとても難問であるという話をしていました。これは再放送だったのだと思います。次回と言うのは次の日の事でした。ということは、2024年の12月の30日の深夜、正確に言えば既に31日になっているという時間帯でした。時間は深夜の2時位だったと思いますが、迷わずに視聴しました。とても興味深い内容でした。それから、インターネットでコラッツ予想がどういうものかを調べて、その後直ぐに自分でもそれに取り組んでいました。不遜にも自分には解けると思ったからです。私は、この時に、現代の難しい数学では絶対に解けないと直感しました。解けるとするなら、自分のような専門外の人間だと思ったのです。その日から、2か月半位、来る日も来る日もコラッツ予想と格闘しました。家族から見ると、何かにとりつかれているように見えたのかもしれませんね。しかし、全く回答の糸口が見つかりませんでした。
用事があって車で千葉に行った帰り道、車の運転中に突然証明方法を思いつきました。あまりの喜びで、助手席に座っていた娘に解けたことを告げました。娘もとても喜んでくれたのですが、自宅に帰ってインターネットを見ると日本人の研究者がコラッツ予想の証明をしたというニュースが目に飛び込んできました。3月12日だったと思います。私はがっかりしてしまいました。娘はもっとがっかりしていました。論文は1番乗りでない限り無価値と思っていたので、その日から、コラッツ予想は頭からスーッと離れてしまいました。でも、何日かすると、今度はアメリカの女子学生がピタゴラスの定理の新しい証明方法を考えたというニュースが飛び込んできました。そうか、コラッツ証明が一番乗りでなくても、証明方法が1番乗りの人と違っていれば、たとえ1番でなくても何らかの価値があるのかもしれないと思い込んで、数学論文として発表する価値はないけれども、インターネットに掲示して、皆さんの批判を仰ぐということに何らかの意味があるかもしれないと思い直しました。
コラッツ予想の証明の概要
任意の正の整数を16を基数としてan16n＋an-116n-1＋…＋a116＋a0と表します（an、an-1、…a1、a0は1から15までの整数とします）。これらの整数を最小桁の数によってタイプに分けます。最小桁の数が偶数の場合は、2で割る操作を繰り返すことで奇数になりますので、奇数についてだけ考えることとします。タイプはタイプ1、タイプ3、タイプ5、タイプ7、タイプ9、タイプ11、タイプ13、タイプ15に分けられます。整数にコラッツ操作を施すと、タイプ毎に同じ動きをします。そして、あるタイプから別のタイプに移行します。この時には、選択先が2つある場合、4つある場合、8つある場合があり、それぞれ、選択肢のどれが選ばれるかは、小さい方から2つ目の桁の偶数・奇数によって決まります。つまり、a0がタイプを決め、a1がコラッツ操作の結果どのタイプに移動するかを決めていることになります。このタイプ別の遷移をタイプ遷移図として表現することが出来ました。以上より、a1とa0が同じ整数は、タイプ遷移図上の同じルートを通ることになります。
a0が同じでa1の偶奇が同じ整数はタイプ遷移図上の同じルートを通ります。16を基数とする2桁の数にコラッツ操作を続けると、全て1に収束することが分かりました。つまり、a0=1、a1=0となります。そして、その前の段階で、a0=0、a1=1になります。この時に最小桁の0を取り払って、全体の桁をずらすことが出来ます。なぜなら、a1＝1、a0=0の場合は、16の倍数となるので、割る2の処理を4回することが出来、その結果、桁を減らすことが出来ます。このときに、最小の2桁が受けている処理と、それよりも大きな桁の処理は同期していますので、上の桁が増えてしまうことはありません。つまり、コラッツ操作を繰り返すことで、桁を削減できることが分かります。つまり、どんなに大きな整数でも、有限な数である限り、最小桁と第2桁の同じ2桁の数と同じルートを通って最小桁と第2桁を<1, 0>にまで持ち込むことが出来きます。ここで、「2で割る」処理を4回行うことで桁を1つ落とすことが出来る。このような操作を続けると、どんなに大きな数でも最終的には1に収束することが分かります。詳しくは、https://www.kmownet.com/collatz-conjecture-ver3/をお読みください。
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