再々改訂版 2025/05/28
再改定版 2025/05/24
著者 久米原 栄
コラッツ予想とは
コラッツ予想とは、任意の正の整数を選んで、nが偶数なら2で割り、nが奇数なら3を掛けて1を足すという操作を繰り返すと、どんなnから始めても有限回の操作で1に辿り着くという主張である。
証明の要約
任意の正の整数を16を基数としてan16n+an-116n-1+…+a116+a0と表す(an, an-1, … a1, a0は0から15までの整数とする）。ある任意の正の整数に対して、コラッツ操作を施す時に、それが偶数なら、その偶数が含んでいる因数2の個数分「2で割る」処理をして、奇数を取り出すという処理は、コラッツ操作の前処理として考えている。このように考えると、コラッツ操作の対象とするのは奇数であるということになる。もちろん、計算処理の途中で偶数が現れることはある。奇数nに対して、(3n+1)/2の処理をして得られた答えに対して、更に「割る2」の処理が可能ならば、「割る2」の処理をして、答えから因数2を取り除くという一連の処理をコラッツ操作1回分として計算することとする。
コラッツ操作の対象を奇数として、16を基数とする表現で表すと、最小桁によってタイプ分けすることが出来る。つまり、あらゆる正の奇数は、タイプ1、タイプ3、タイプ5、タイプ7、タイプ9、タイプ11、タイプ13、タイプ15の8つのタイプに分けることが出来る。
任意の整数にコラッツ操作を施すと、タイプ毎に同じ動きをする。そして、あるタイプから別のタイプに遷移する。このタイプ遷移をグラフに表すことが出来る。これを本稿ではタイプ遷移図と称している。タイプ遷移図はどのタイプからどのタイプに遷移するかをグラフ化したものとなる。あるタイプから別のタイプに移るときにいくつかの分岐先がある。2つに分岐する場合、4つに分岐する場合、8つに分岐する場合などである。
タイプからタイプへの遷移では、最小桁が奇数になっているが、分岐の途中のタイプ内の処理では、偶数となっている。3n+1の計算をしたときに、最終桁に因数2が1つ含まれるか、2つ含まれるか、3つ含まれるかである。ただし、タイプ5のようにタイプ5の中でのコラッツ操作の結果、因数2が4つ以上含まれることもある。
(3n+1)の結果、最小桁の因数2が1つのときは割る2の処理を1回しかすることが出来ないので、コラッツ操作での結果は、3/2となる（タイプ3、タイプ7、タイプ11、タイプ15）（3n/2ではなく(3n+1)/2なので正確には約3/2であるが、今後の説明ではこの「約」は大勢には影響ないので省略している）。これに対して、因数2が2つ含まれる時（タイプ1、タイプ9）は、3/4となり、因数2が3つ含まれる時（タイプ13）は、3/8となる。更に、タイプ5は自身の処理の中で最低でも3/16となる。
因数2が1つの場合は、分岐は1回、分岐先は２つとなる。因数2が2つのときは、分岐は2回、分岐先は4つ、因数2が3つのときは、分岐が3回で、分岐先は８つとなる。つまり、タイプ遷移図は2分木の構造を持つ。どの分岐先に行くのかは、下から2つ目の桁の偶数、奇数の違いによる。因数2が2つある場合は、一旦割る2をした段階で、最小桁はまだ偶数である。これは、仮のタイプといってよい。この時の下から2桁目の偶数、奇数によって、更に分岐先が決まることになる。因数2が3つ含まれるタイプは、2回目の割り算によっても、まだ最小桁は、偶数である。従って、この時の下から2桁目の偶数、奇数によって更に枝分かれすることになる。
2桁の整数にコラッツ操作を施してみると全ての数が1に収束することが分かった。1に収束するまでに必要なコラッツ操作の回数は、多い場合は46回、少ない場合は1回である。そして、末尾2桁の数の並びが同じ2桁の整数と3桁の整数ペアの動きを観察してみると、最初の数回のコラッツ操作では、タイプ（最小桁の数）と第2桁が同じ場合もあり、タイプは同じだが第2桁は異なり偶奇だけは同じという場合があることが分かった。この時は、2桁の整数と3桁の整数のペアは、タイプ遷移図上の同じルートを辿る。しかし、何回かのコラッツ操作の後に、2つのペアの第2桁の偶奇が異なってしまうことがある。こうなると、分岐先としてタイプ遷移図上の異なったルートが選択されることになる。
2つのペア同士の第2桁の偶奇が逆転してしまうのは、3桁の整数の第3桁の奇数の影響である。第3桁が奇数の時は、タイプ間での遷移の際の(3n+1)/2の操作と、タイプ内での分岐の操作を行うための「割る2」の処理で、桁上がり、桁下がりの微調整が必要となる。例えば、タイプ内の「割る2」の処理をするために、その前段階の微調整として、a2はa2-1としてa1+16とするか、a2+1として、a1-16とするかの処理が必要となる。そしてこの後、「割る2」をすると、第2桁にはその効果として「+8」あるいは、「-8」という影響が残ることになる。次の操作時でも、第3桁が奇数だと、残る影響は「+8+4」、「+8-4」、「-8+4」、「-8-4」となる。まだ、第2桁の偶奇には影響は与えない。しかし、第3桁が奇数の影響は段々と累積するとやがて「+8+4+2+1」、「+8+4+2-1」、「+8+4-2+1」、「+8+4-2-1」、「+8-4+2+1」、「+8-4+2-1」、「+8-4-2+1」、「+8-4-2-1」、「-8+4+2+1」、「-8+4+2-1」、「-8+4-2+1」、「-8+4-2-1」、「-8-4+２+1」、「-8-4+２-1」、「-8-4-2+1」、「-8-4-2-1」となり、第2桁の偶奇に影響を与えてしまう。これは、タイプ間での(3n+1)/2の「割る2」でも、ほとんど同じような影響を与えることが分かった。第2桁の偶奇に影響が及べば、そこから先は、2つのペアのタイプ遷移図上のルートが異なることになる。つまり、末尾2桁が同じ2桁の整数と3桁の整数のペアは、コラッツ操作を施す度にタイプと第2桁を変化させるが、末尾2桁の偶奇が一致している限り、同じタイプに遷移するが、第2桁の偶奇に影響が及べば、遷移先がお互いに異なるタイプとなってしまう。同じルートを通る限り、その間の縮小・拡大は2桁の整数も、3桁の整数も全く同じである。
第3桁の奇数の影響がないのは4回までである。コラッツ操作の際に第3桁が奇数という状態が4回続いたとしても、奇数の影響は発揮されない。その間に、第3桁が偶数という回が挟まれば、影響のない状態が4回よりも増えることになる。5回目、6回目まで分岐に影響が出ない可能性も高い。そこで、2桁の整数が何回のコラッツ操作で1に収束するか検証してみた。0x16+3~15×16+15までの128通り（0x16+1~15×16+15までの128通りのうち、0x16+1を除いて127通りだが、ここでは簡単のために128通りとしておくことにする）のうち4回目までに1に収束してしまうものは、20/128=5/32あることが分かった。5回目、6回目までに1に収束してしまうものを合わせると32/128=1/4ある。更に、場合によっては7~9回目までに1に収束してしまうものを含めてもよいかも知れない。しかし、それは確実には分からない。それは、上位桁（この場合は第3桁）の偶数・奇数次第となる。しかし、コラッツ操作を施す度に第3桁が奇数になってしまうという場合だとしても、5/32、平均的には1/4は第3桁の奇数の影響が累積するまでに、1に収束してしまうことになる。例えば、2桁の整数を乗り合いバス、第3桁の整数を乗客だと考えてみよう。乗客は下2桁が自分と同じバスに乗って、途中で第2桁の偶奇が異なってしまったら、そこでバスを降りて、また下2桁が同じバスに乗り換えると考えることにすればどうだろうか。これを何回か繰り返すことで3桁の整数も1に収束することになる。こう考えると、2桁の整数が全て1に収束することが分かれば、3桁の整数も1に収束することが分かる。そして、既に説明したように2桁の整数は最悪でも46回のコラッツ操作で1に収束することが分かっている。4桁の整数についても、末尾2桁が同じ2桁の整数を乗り合いバスに見立てて乗り込めばよい。そして、3桁の整数にまで収束することを証明すれば、その3桁の整数は全て1に収束することが証明済みであるので、4桁の整数も1に収束することが証明できたことになる。このようにして5桁、6桁、7桁の整数についても順次1に収束することを証明することが出来る。従って、たとえどんなに大きな整数から始めたとしても、それが有限の整数である限り、1に収束することが証明できる。
以下証明する）
任意の整数は、16を基数として、an16n＋an-116n-1+…+a116+a0と表すことが出来る（an,an-1, …a1,a0は0から15までの整数とする）。
ただし、偶数の場合は、2で割ることで、コラッツ操作の出発点となった整数の半分以下になるので、ここでは奇数について考えることとする。コラッツ操作の出発点となる整数を小さい順に選択して1に収束することを証明して行けば、出発点となった整数よりも小さい整数になるということは、その整数は既に証明済みの整数ということになるからである。
全ての整数は、16p+1, 16p+3, 16p+5, 16p+7, 16p+9, 16p+11, 16p+15と表現して、これをタイプと考えることとする。つまり、全ての数をタイプ1、タイプ3、タイプ5、タイプ7、タイプ9、タイプ11、タイプ13、タイプ15に分類し、これらについてコラッツ操作を施してみよう。
コラッツ操作を施した場合のタイプ毎の動き
この節では、16p+nを簡略化して(p, n) あるいは、<p, n>と表記することとする。ここでは、コラッツ操作を行う際の「2で割る」処理を「→」で表現している。2で割る処理が複数回続く時も、単に「→」1個で表現しているので注意してほしい。
ここでは、コラッツ操作の処理途中で、最小桁が偶数の場合は、<p, n>と表現し、最小桁が奇数となり、1回のコラッツ操作が終了した時点で(p, n)という表現を用いている。
● タイプ1
3(p, 1)+1 = <3p, 4>
pが偶数なら、<3p, 4> → <q, 2>
qが偶数なら、<q, 2> → (r, 1)
qが奇数なら、<q, 2> → <q-1, 18> → (r, 9)
pが奇数なら、<3p, 4> → <3p-1, 20> → <q, 10>
qが偶数なら、<q, 10> → (r, 5)
qが奇数なら、<q, 10> → <q-1, 26> → (r, 13)
● タイプ3
3(p, 3) + 1 = <3p, 10>
pが偶数なら、<3p, 10> → (q, 5)
pが奇数なら、<3p, 10> → <3p-1, 26> = (q, 13)
● タイプ5
3(p, 5) + 1 = <3p, 16> = <3p+1, 0> = 16(3p+1) → 3p+1
＊<3p+1, 0> はタイプ別で言えば、タイプ0である。操作の途中で最小桁が0になると、<3p+1, 0> = 16(3p+1)+0 = 16(3p+1) → 8(3p+1) → 4(3p+1) → 2(3p+1) → (3p+1)となり、桁の数字が全体として、1桁小さい方にずれることになるり、倍率的には3/16となっている。ただし、(3p+1)に因数2が含まれている場合もあり、更に倍率が小さくなる可能性もある。
● タイプ7
3(p, 7) + 1 = <3p, 22>
pが偶数のとき、<3p, 22> → (q, 11)
pが奇数のとき、<3p, 22> = <3p+1, 6> → (q, 3)
● タイプ9
3(p, 9) + 1 = <3p, 28>
pが偶数のとき、<3p, 28> → <q, 14>
qが偶数のとき、<q, 14> → (r, 7)
qが奇数のとき、<q, 14> = <q-1, 30> → <r, 15>
pが奇数のとき、<3p, 28> = <3p+1, 12> → <q, 6>
qが偶数のとき、<q, 6> → (r, 3)
qが奇数のとき、<q, 6> = <q-1, 22> → (r, 11)
● タイプ11
3(p, 11) + 1 = <3p, 34>
pが偶数のとき、<3p, 34> = <3p+2, 2> → (q, 1)
pが奇数のとき、<3p, 34> = <3p+1, 18> → (q, 9)
● タイプ13
3(p, 13) + 1 = <3p, 40>
pが偶数のとき、<3p, 40> = <3p+2, 8> → <q, 4>
qが偶数のとき、<q, 4> → <r, 2>
rが偶数のとき、<r, 2> → (s, 1)
rが奇数のとき、<r, 2> = <r-1, 18> → (s, 9)
qが奇数のとき、<q, 4> = <q-1, 20> → <r, 10>
rが偶数のとき、<r, 10> → (s, 5)
rが奇数のとき、<r, 10> = <r-1, 26> → (s, 13)
pが奇数のとき、<3p, 40> = <3p+1, 24> → <q, 12>
qが偶数のとき、<q, 12> → <r, 6>
rが偶数のとき、<r, 6> → (s, 3)
rが奇数のとき、<r, 6> = <r-1, 22> → (s, 11)
qが奇数のとき、<q, 12> = <q-1, 28> → <r, 14>
rが偶数のとき、<r, 14> → (s, 7)
rが奇数のとき、<r, 14> = <r-1, 30> → (s, 15)
● タイプ15
3(p, 15) + 1 = <3p, 46>
pが偶数のとき、<3p, 46> = <3p+2, 14> → <q, 7>
pが奇数のとき、<3p, 46> = <3p+1, 30> → <q, 15>
以上の考察で、タイプ7、タイプ11、タイプ15については、コラッツ操作を1回施すことで3/2倍となり、第2桁の係数が16を超える場合があるが、このことについては別段の考慮はしていない。もし、第2桁の係数が16を超える場合は、第3桁への桁上がりを考えて<<a2+1, a1>, a0>のような記法を導入すべきかもしれないが、このことについては後で言及することとする。現時点では、タイプの遷移について試行を集中するために、第3桁への桁上がりは、無視している。なぜなら、次に示すタイプ遷移図では、最小桁と、下から2番目の桁の数が決定的に重要だからである。
タイプ遷移図
以上の考察を元にしてタイプ遷移図を描くと次のようになる。
タイプ型と、第2桁の偶数・奇数、3桁以上の整数への拡張
タイプ遷移を考えた場合に、タイプ型と第2桁の偶数・奇数が決定的に重要な働きをすることが分かった。ここまでは、2桁の整数について論じたが、議論を3桁以上の整数にまで拡張したい。
下から2番目の桁の数は「2で割る」という処理をする際の微調整の結果を反映している。最小桁が偶数で、第2桁が奇数の場合の処理については既に説明しているので、ここでは最小桁が偶数で、下から3番目の桁（第3桁）が奇数の場合について考えよう。ここで考えるのは、最小桁が偶数で、第2桁も偶数の場合である。第2桁は、最初から偶数なのか、微調整の結果、偶数になったのかはここでは問わないこととする。第3桁が奇数の場合には、第3桁を「-1」して、第2桁を「+16」するか、第3桁を「+1」して、第2桁を「-16」するかのいずれかである。「2で割る」処理が1回のタイプ3、タイプ7、タイプ11、タイプ15の場合は、「2で割る」処理によって、「+8」あるいは、「-8」という結果が残る。つまり、2桁の整数の処理で第2桁が「m」だったとすると、「m+8」あるいは「m-8」となる。「m」の偶奇と、「m+8」あるいは「m-8」の偶奇は全く同じである。
「2で割る」処理が2回必要なタイプ1とタイプ9は、最初の「2で割る」処理の際の状況は「2で割る」処理が1回の時と全く同じである。2回目の「2で割る」処理の際に桁上がりがあれば、1回目の処理で桁上がりしていれば、「n-8」で、ここに桁上がりの「-16」を加えて、それを「2で割る」ので、結果は、「n-4-8」となる。同じように1回目が桁上がりか、桁下がりか、2回目が桁上がりか、桁下がりかで合わせて「n-4+8」、「n+4-8」、「n+4-8」の4通りの結果が得られる。nの偶数・奇数は、「n-4-8」、「n-4+8」、「n+4-8」、「n+4-8」と同じであることが分かる。
「2で割る」処理が3回必要なタイプ13では、第2桁は2桁の整数の場合がsだとすると、「s-2-4-8」、「s-2-4+8」、「s-2+4-8」、「s-2+4+8」、「s+2-4-8」、「s+2-4+8」、「s+2+4-8」、「s+2+4+8」の8通りとなり、第2桁の偶数・奇数は「s」の場合と同じである。もちろん、タイプ遷移表を見ると、タイプ13は<s, 1>, <s, 9>, <s, 5>, <s, 13>, <s, 3>, <s, 11>, <s, 7>, <s, 15>に分岐し、それぞれの場合について、「s」の値は異なっているが、偶奇については変わりはない。つまり、「s」の偶奇に従って、「s-2-4-8」、「s-2-4+8」、「s-2+4-8」、「s-2+4+8」、「s+2-4-8」、「s+2-4+8」、「s+2+4-8」、「s+2+4+8」の偶奇が決まることになる。
以上の考察の結果、3桁以上の整数についても、前の節で説明したタイプ遷移図がそのまま適用できるということになる。
タイプ別の縮小と拡大の概略
タイプ遷移図を見ると、タイプ別の縮小と拡大の概略を知ることが出来る。
上の図では、タイプ遷移の途中の最小桁が偶数の場合については、<>を、1回のタイプ遷移が完了して、最小桁が奇数になった状態を()を使って表現している。□で囲まれた()型のタイプから()型のタイプへの遷移では、コラッツ操作の対象の奇数nに対して、(3n+1)の処理が施され、この結果は必然的に偶数となるため更に2で割る処理が加えられている。従って、基本的に1回のタイプ遷移で対象となった整数は1.5倍されていることになる。ただし、タイプ遷移の間に<>タイプへの処理が介在している場合、すなわちタイプ1、タイプ9、タイプ13では、「2で割る処理」が更に追加されている。タイプ1と、タイプ9では1回、合計で2回、タイプ13では、追加の処理が2回で、合計3回となる。従って、タイプ1とタイプ9では、(3/2)/2＝3/4、タイプ9では、((3/2)/2)/2=3/8倍となっている。更にタイプ3はタイプ5、あるいはタイプ13に遷移する。タイプ3から、タイプ5への遷移では3/2となるが、タイプ5内の処理では最低でも3/16倍されている。また、タイプ13への遷移でも、3/2となるが、タイプ13から次のタイプへの遷移で、3/8されている。このように考えると、タイプ1、タイプ3、タイプ5、タイプ9、タイプ13では縮小することが分かる。
拡大するのはタイプ7、タイプ11、タイプ15である。この3つのタイプは(3n+1)/2の処理だけなので、基本的には3/2で拡張する。
分岐の仕方を見ると、いくつかの類似点がみられる。例えば、(r, 11)-(s, 1)-(u,1) | (u, 9) | (u, 5) | (u, 13)、(r, 11)-(s, 9)-(u,7) | (u, 15) | (u, 3) | (u, 111)と、(s, 13)-<t, 4>-(v, 1) | (v, 9) | (v, 5) | (v, 13) 、(s, 13)-<t, 12>-(v,3) | (v, 11) | (v, 7) | (v, 15)の分岐が全く同じことが分かる。
また、(r, 3)-(s, 5) | (s, 13)の分岐と、(s, 1)の先の<t, 10>-(u, 5) | (u,13)も同じ、(s, 13)の先の<u, 10>-(v, 5) | (v, 13)も同じである。一見すると、(r, 3)の「3」と<t, 10>, <u, 10>の「10」がマッチしないが、(r, 3)の方は(3n+1)の処理をするので、3×3+1=10となり、マッチする。
(q, 7)-(r, 11) | (r, 3)と、(s, 13)の先の分岐の<u, 6>-(v, 3) | (v, 11)も同じ、(s, 9)の先の分岐の<t, 6>-(u, 3) | (u, 11)も同じである。これについては、(q, 7)の場合は3×7+1=22で、22=1×16+6で、<u, 6>,<t, 6>の「6」とマッチする。
(p, 15)-(q, 7) | (q, 15)も、(s, 9)の先の(t, 14)-(u, 7) | (u, 15)、(s, 13)の先の(u, 14)-(v, 7) | (v, 15)と全く同じである。(p, 15)については、3×15+1=46, 46=2×16+14となり、共に「14」となる。
違いは、タイプからタイプへの遷移では(3n+1)/2の処理が入るが、タイプ内での処理では、「割る2」だけだということである。
偶数・奇数についてもほとんど同じだが、（s, 13)の内部処理で、1番目、3番目は同じで、一番目が奇数の分岐についてのみ2番目は逆になっている。
更にタイプ遷移図を眺めてみると、同じタイプが連続する可能性があることである。それは、タイプ1とタイプ13とタイプ15である。タイプ1から、タイプ1への遷移は4つの選択肢のうちの１つであり、しかもタイプの連続の間に3/4に縮小している。タイプ13からタイプ13への遷移は8つの選択肢のうちの1つであり、しかもタイプの連続の間に、3/8に縮小している。従って、タイプ1とタイプ13の連続については、問題とするには当たらない。問題はタイプ15の連続である。タイプ15は連続する間に1.5倍されるので、例えばタイプ15の連続が100回続くと、単純にはその間に(1.5)100倍されることになるのだが、事はそれほど単純ではなさそうだ。
15タイプからの遷移
タイプ15は、タイプ7かタイプ15の連続かの1回の選択である。従って、単純に1.5倍される。タイプ15をn回繰り返すと、単純計算では(1.5)n倍で拡大していくことになる。
ここでは、タイプ15の連続から抜け出すことが出来るのかについて議論する。タイプ遷移図を見ると分かる通り、<偶数、15>タイプは次の遷移でタイプ7へ遷移するが、<奇数、15>タイプはタイプ15を繰り返す。
ここからは、an16n+an-116n-1+…+a116+a0を<<<<an,an-1>, an-2>, …, a1>, a0>と表記して計算を行うこととする。ここまでは( )と< >を分けて説明の便宜を図っていたが、これ以降は< >と表現することとする。
タイプ15は次のように遷移する。
タイプ15でも、<<…, 1>,15>, <<…,5>, 15>, <<…,9>, 15>, <<…,13>, 15>タイプの整数は1回のコラッツ操作で次に、<偶数,15>タイプに遷移しているので、次の操作でタイプ7へと遷移するはずである。
問題は<<…, 3>, 15>, <<…, 7>, 15>, <<…, 11>, 15>, <<…, 15>, 15>タイプである。
このうち、<<…, 3>, 15>と、<<…, 11>, 15>の2つのタイプは問題ない。なぜなら、<<…, 3>, 15>タイプは、次の操作で<<…, 5>, 15>あるいは<<…, 13>, 15>となるので、次の操作で<偶数, 15>タイプとなり、更にその次の操作で、タイプ7へと遷移する。<<…, 11>, 15>も同様に、次の操作で<<…, 1>, 15>あるいは<<…, 9>, 15>タイプへの遷移し、更に次の操作で<偶数, 15>となり、その次にタイプ7へと遷移する。
<<…, 7>, 15>タイプは次の操作で、<<…, 3>, 15>あるいは<<…,11>, 15>タイプとなる。そして、上で説明したように、<<…, 3>, 15>は、<<…, 5>, 15>あるいは<<…, 13>, 15>となり、次の操作で<偶数, 15>となり、更に次の操作でタイプ7へと遷移する。<<…, 11>, 15>についても同じように、<<…, 1>, 15>あるいは<<…, 9>, 15>となり、次に<偶数, 15>タイプとなり、タイプ7への遷移することが出来る。
問題は<<…, 15>, 15>タイプである。このタイプは<<…, 7>, 15>あるいは、<<…, 15>, 15>タイプへ遷移する。<<…, 7>, 15>タイプは既に説明したようにやがてタイプ7へと遷移することが分かっている。
ところが、<<…, 15>, 15>のように15が連続してしまうと、タイプ15から抜け出すことが出来ない可能性がある。次にこの点を確認しよう。
15が最小桁から連続する場合についての考察
15が最小桁から連続する場合は、3n+1の処理をする際の最小桁の45+1=46と、途中桁の46を桁上がりさせる時の上の桁への「+1」が全く同じ動作をしている（45+1=46となり、これが更に上の桁への桁上がりを誘導する）。このため、桁上がりさせた後に元の桁が46-16=30となり、これに対して2で割る処理が加わるため、15となってしまう。
タイプ15の連続からの脱却
各桁の係数が15である場合は一見すると、永遠に1.5倍が続いてしまうように思えるが、そうではない。コラッツ予想では有限の整数を対象としているので、先頭桁というものが必ず存在している。そして、先頭桁の1つ前は0である。つまり、<<<<<<0, 15>, 15>, …>, 15>となっているはずである。これは、<偶数, 15>ということになるので、次のコラッツ操作で、タイプ7へと遷移する。
15タイプから如何にして抜けるかについては、次に図解する。<<<0, 15>, 15>, …>, 15>から、15の並びが2つ減るまでに4回のコラッツ操作を要していることが分かる。つまり、<<<0, 15>, 15>, …>, 15>は、<<<偶数, 15>, 15>, …>, 15>なので、1回の操作で1つ減り、<<<1, 7>, 15>, …>, 15>になり、ここから<<<…, 偶数>, 15>, …>, 15>に遷移するまでに4回の操作が必要で、合計5回で2つ15の連続列の長さが減ることになる。
以上、最小桁から15が続いている場合について検討した。
途中にある15についての考察
最小桁から15が連続している場合については厄介であるが、途中で15が出現することもある。これについてはどのように考えたらいいのだろうか。例えば<<<<…, (0から14のいずれか)>, 15>, 15>, (0から14のいずれか)、…>のような場合である。最小桁が、1、9、13、5のいずれかの場合は、後で2で割る処理が、2回（1と9の場合）、3回（13の場合）、4回（5の場合）あるので、途中にある15は直ぐに他の数に変化してしまう。7、11、15の場合も15の命は短い。そもそも、最小桁から15が続く場合にどうして15が連続してしまうかというと、(3n+1)/2の処理の際の「+1」の処理と同じ作用を、15の桁上がりが果たしてしまうからである。15×3+1＝46で、16を桁上がりさせると、最小桁は30となり、その上の桁が45+1=46となり、この桁もさらに上の桁への桁上がりで、30となり、上の桁は45+1=46となって、また桁上がりが発生してしまう。そして、最終的に2で割る処理をすると、30の並びが、全部15へと変わってしまうためである。しかし、途中にある15の場合は、下の桁からの桁上がりがあるとは限らないので、事情が異なる。途中にある15は3倍され、45になるが、下の桁からの桁上がりが期待できないこともある。その場合は、2で割る処理の際に桁間の調整で、46/2=23なったり、23=16+7で7になることもあるし、44/2=22となり、22=16+6で6になることもある。あるいはたまたま下からの桁上がりがあって、その結果46になり、更に自分自身が桁上がりして、30になり、2で割る処理で15になることもある。しかし、これもこの時限りのことである。なぜなら、これは2で割る処理が2回の、タイプ7、タイプ11、タイプ15に特有の事情であり、タイプ7は次にタイプ11か、タイプ3となり、タイプ11は次にタイプ1かタイプ9になる。また、タイプ3は次にタイプ5あるいはタイプ13となるので、2で割る処理が1回だけという場合は、ずっと続くわけではないからである。もちろん、タイプ15が最小桁にある場合は例外であるが、これが永遠と続くわけではないことは既に説明したところである。また、今までなかったところに突然15が出現する場合もあるがそれもいつの間にか消滅してしまう。
従って、最小桁から連続している15以外は、途中桁にある15は2、3回のコラッツ操作の間にすぐに消滅してしまうことが分かる。
他のタイプから15タイプへの遷移
15タイプ以外から、15タイプに遷移することがある。タイプ遷移図を見ると、<偶数, 9>-<t, 14>で、tが奇数の時<u, 15>に遷移する。更に、<奇数, 13>-<t, 12>で、tが奇数の時<u, 14>なり、更にuが奇数の時、<v, 15>に遷移している。
<偶数, 9>-<t, 14>(t:奇数)-<u, 15>の遷移では、<0, 9>, <2, 9>, <4, 9>, <6, 9>, <8, 9>, <10, 9>,<12, 9>, <14, 9>のうち、第2桁に因数2が2つ以上入っている<0, 9>, <4, 9>, <8, 9>, <12, 9>はタイプ7へ遷移することが分かる。これに対して、第2桁に因数2が1つしか入っていない<2, 9>, <6, 9>, <10, 9>, <14, 9>はタイプ15を維持する。
3<2, 9> + 1 = <6, 28> → <3, 14> = <2, 30> → <1, 15>
3<6, 9> + 1 = <18, 28> → <9, 14> = <8, 30> → <4, 15>
3<10, 9> + 1 = <30, 28> → <15, 14> = <14, 30> → <7, 15>
3<14, 9> + 1 = <42, 28> → <21, 14> = <20, 30> → <10, 15>
以上より、<2, 9>と<10, 9> だけが、<奇数, 15>となり、15タイプを繰り返すことになる。このうち、<1, 15>はタイプ15の遷移表を確認すると、次のコラッツ操作で<偶数, 15>となり、15タイプから脱出することが出来る。これに対して、<<…, 7>, 15>-<<…, 11>, 15> | <<…, 3>, 15>となり、<<…, 11>, 15>-<…, 1>, 15> | <<…, 9>, 15>, <<…, 3>, 15>-<<…, 5>, 15> | <<…, 13>, 15>となり、<偶数, 15>になるまでに3回のコラッツ操作を必要とし、15タイプを抜けるまでにさらに1回で計4回の操作を必要とする。
<奇数, 13>-<t, 12>(t:奇数)-<u, 14>(u:奇数)の遷移では、<1, 13>, <3, 13>, <5, 13>, <7, 13>, <9, 13>, <11, 13>, <13, 13>, <15,13>のうち<奇数、15>となるのは、<15, 13>のみである。
3<1, 13> + 1 = <3, 40> = <4, 24> → <1, 6> = <0, 22> → <0, 11>
3<3, 13> + 1 = <9, 40> = <10, 24> → <5, 12> = <4, 28> → <1, 7>
3<5, 13> + 1 = <15, 40> = <16, 24> → <2, 3>
3<7, 13> + 1 = <21, 40> = <22, 24> → <11, 12> = <10, 28> → <5, 14> = <4, 30> → <2, 15>
3<9, 13> + 1 = <27, 40> = <28, 24> → <7, 6> = <6, 22> → <3, 11>
3<11, 13> + 1 = <33, 40> = <34, 24> → <17, 12> = <16, 28> → <4, 7>
3<13, 13> + 1 = <39, 40> = <40, 24> → <5, 3>
3<15, 13> + 1 = <45, 40> = <46, 24> → <23, 12> = <22, 28> → <11, 14> = <10, 30> → <5, 15>
<5, 15>はタイプ15の遷移表を確認すると、次のコラッツ操作で<偶数, 15>となり、更に次の操作でタイプ7に遷移することが分かる。
最小桁の数（タイプ）の変化による縮小と拡大の実際
コラッツ操作を施す度に最下位桁の数値（タイプ）が変化していく。最下位桁の数によってタイプ遷移図上のコースが変化していく。ここでは、タイプ遷移図上の分岐点（図では□で囲まれているタイプ）を通るごとに出発点の整数に対してどのように増減しているかを検証し、出発点となった整数に対する倍率を示す。最下位桁の数をnで表し、タイプnからタイプmへの変化を(n)(m)と表現する。
倍率が1以下になった場合は、そこで出発点の整数よりも小さい整数となったものとして、検証を止めている。小さい整数から順にコラッツ予想が成り立つことを証明していると仮定すると、証明済みの整数となっているからである。
以降の計算で、倍率が1以下になったものは青で下線を引き、枝葉の分岐で1以下になっている場合は親ノードは青で塗りつぶしている。
(1)(1): 3/4
(1)(5): 3/4
(1)(9): 3/4
(1)(13): 3/4
(3)(5): 3/2 ＊ただし、(5)の中の処理で3/16となるので、合わせて9/32
(3)(13)(1): 3/2 x 3/8 = 9/16
(3)(13)(3): 9/16
(3)(13)(5): 9/16
(3)(13)(7): 9/16
(3)(13)(9): 9/16
(3)(13)(11): 9/16
(3)(13)(13): 9/16
(3)(13)(15): 9/16
(5): 3/16
(7)(3)(5): 3/2 x 3/2 x (3/16) = 27/64 ＊3/16は(5)の中での処理
(7)(3)(13)(1): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32
(7)(3)(13)(3): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32
(7)(3)(13)(5): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32
(7)(3)(13)(7): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32
(7)(3)(13)(9): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32
(7)(3)(13)(11): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32
(7)(3)(13)(13): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32
(7)(3)(13)(15): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32
(7)(11): 3/2
この時点で1以上なので赤で塗りつぶして、後で検討を加える。
(9)(3): 3/4
(9)(7): 3/4
(9)(11): 3/4
(9)(15): 3/4
(11)(1): 3/2
(11)(9): 3/2
(11)(1)、(11)(9)は赤で塗りつぶして、後で検討する。
(13)(1): 3/8
(13)(3): 3/8
(13)(5): 3/8
(13)(7): 3/8
(13)(9): 3/8
(13)(11): 3/8
(13)(13): 3/8
(13)(15): 3/8
(15)(7): 3/2
(15)(15): 3/2
15についてはやがてタイプ7へと移行するので、ここでは論じない。
(7)(11), (11)(1), (11)(9)からの遷移について
縮小しないのは、(7)(11)と、(11)(1)、(11)(9)である。(7)(11)は、(7)(11)(1)あるいは、(7)(11)(9)と遷移し、(11)(1)は、(11)(1)(1), (11)(1)(9), (11)(1)(5), (11)(1)(13)へと遷移し、(11)(9)は、(11)(9)(7), (11)(9)(15), (11)(9)(3), (11)(9)(11)へと遷移する。
●(7)(11)(1)
＞(7)(11)(1)(1): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16
＞＞(7)(11)(1)(1)(1): 27/16 x 3/4 = 81/64
＞＞＞(7)(11)(1)(1)(1)(1): 81/64 x 3/4 = 243/256
＞＞＞(7)(11)(1)(1)(1)(5): 81/64 x 3/4 = 243/256
＞＞＞(7)(11)(1)(1)(1)(9): 81/64 x 3/4 = 243/256
＞＞＞(7)(11)(1)(1)(1)(13): 81/64 x 3/4 = 243/256
＞＞(7)(11)(1)(1)(9): 27/16 x 3/4 = 81/64
＞＞＞(7)(11)(1)(1)(9)(7): 81/64 x 3/4 = 243/256
＞＞＞(7)(11)(1)(1)(9)(15): 81/64 x 3/4 = 243/256
＞＞＞(7)(11)(1)(1)(9)(3): 81/64 x 3/4 = 243/256
＞＞＞(7)(11)(1)(1)(9)(11): 81/64 x 3/4 = 243/256
＞＞(7)(11)(1)(1)(5): 27/16 x 3/4 x (3/16) = 81/64 x (3/16) = 243/1,024
＞＞(7)(11)(1)(1)(13): 27/16 x 3/4 x (3/8) = 81/64 x (3/8) = 243/512
(7)(11)(1)(1)と分岐する時は倍率は出発点と比較して1以下になることが分かった。
＞(7)(11)(1)(9): 3/2 x 3/2 x 3/4
＞＞(7)(11)(1)(9)(7): 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64
＞＞(7)(11)(1)(9)(15): 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64
＞＞(7)(11)(1)(9)(3): 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64
＞＞＞(7)(11)(1)(9)(3)(5): 81/64 x 3/2 x (3/16) = 729/2,048
＞＞＞(7)(11)(1)(9)(3)(13): 81/64 x 3/2 x (3/8) = 729/1,028
＞＞(7)(11)(1)(9)(11): 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64
＞(7)(11)(1)(5): 3/2 x 3/2 x 3/4 x (3/16) = 27/16 x (3/16) = 81/256
＞(7)(11)(1)(13): 3/2 x 3/2 x 3/4 x (3/8) = 27/16 x (3/8) = 81/128
(7)(11)(1)と辿った場合は、(7)(11)(1)(9)(7)と(7)(11)(1)(9)(15)、(7)(11)(1)(9)(11)のみが倍率1以上で、それ以外は全て倍率1以下になっていることが分かる。
●(7)(11)(9)
＞(7)(11)(9)(7): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16
＞(7)(11)(9)(15): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16
＞(7)(11)(9)(3): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16
＞＞(7)(11)(9)(3)(5): 27/16 x 3/2 x (3/16) = 243/512
＞＞(7)(11)(9)(3)(13): 27/16 x 3/2 x (3/8) = 243/256
＞(7)(11)(9)(11): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16
●(11)(1)
＞(11)(1)(1): 3/2 x 3/4 = 9/8
＞＞(11)(1)(1)(1): 9/8 x 3/4 = 27/32
＞＞(11)(1)(1)(9): 9/8 x 3/4 = 27/32
＞＞(11)(1)(1)(5): 9/8 x 3/4 = 27/32
＞＞(11)(1)(1)(13): 9/8 x 3/4 = 27/32
＞(11)(1)(9): 3/2 x 3/4 = 9/8
＞＞(11)(1)(9)(3): 9/8 x 3/4 = 27/32
＞＞(11)(1)(9)(7): 9/8 x 3/4 = 27/32
＞＞(11)(1)(9)(11): 9/8 x 3/4 = 27/32
＞＞(11)(1)(9)(15): 9/8 x 3/4 = 27/32
＞(11)(1)(5): 3/2 x 3/4 x (3/16) = 27/128
＞(11)(1)(13) = 3/2 x 3/4 x (3/8) = 27/64
(11)(1)からの分岐については全て倍率1以下になることが分かった。
●(11)(9): 3/2
＞(11)(9)(7): 3/2 x 3/4 = 9/8
＞(11)(9)(15): 3/2 x 3/4 = 9/8
＞(11)(9)(3): 3/2 x 3/4 = 9/8
＞＞(11)(9)(3)(5): 9/8 x 3/2 x (3/16) = 81/256
＞＞(11)(9)(3)(13): 9/8 x 3/2 x (3/8) = 81/128
＞(11)(9)(11): 3/2 x 3/4 = 9/8
以上の計算結果より、倍率が1以上になってしまう分岐は(7)(11)(1)(9)(7): 81/64、(7)(11)(1)(9)(15): 81/64、(7)(11)(1)(9)(11): 81/64と、(7)(11)(9)(7): 27/16、(7)(11)(9)(15): 27/16、(7)(11)(9)(11): 27/16、(11)(9)(7): 9/8、(11)(9)(15): 9/8、(11)(9)(11): 9/8の9通りであることが分った。
(11)(9)(7): 9/8、(11)(9)(15): 9/8、(11)(9)(11):9/8については、(11)-(1)の遷移は含まれないが、(7)から遷移している場合は、(7)(11)(1)(9)(7): 81/64、(7)(11)(1)(9)(15): 81/64、(7)(11)(1)(9)(11): 81/64のように、(11)-(1)の場合も含まれている。これは、(7)から遷移した場合の3/2倍が、(11)-(1)の遷移の場合の3/4倍を打ち消してしまうためである。
今まで無視していた(15)タイプの遷移についても考慮すると、(15)から(7)への遷移を追加すればよい（ただし、ここでは(15)から(15)へのループについては除いている）。そうすると、候補として(15)(7)(11)(9)(7)、(15)(7)(11)(9)(15)、(15)(7)(11)(9)(7)と、(11)から(1)を経由して(9)に遷移する(15)(7)(11)(1)(9)(7)、(15)(7)(11)(1)(9)(15)、(15)(7)(11)(1)(9)(7)が候補に挙がって来る。更に、(15)(7)の遷移で3/2倍されるので、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(7)、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(15)、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(7)も候補に挙がって来る。更に(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(7)、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(15)、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(7)も候補として考慮しなくてはならない。何故なら、(15)(7)(11)(1)で(3/2)3=(27/8)倍されるので、(1)(1)(9)遷移列で(3/4)2=(9/16)倍だと、(15)(7)(11)(1)の効果を打ち消すには力が足りないと予想されるからである(27/8 x 9/16 = 243/128)。(1)(1)(1)(9)の遷移列では(3/4)3=27/64倍されるので、27/8 x 27/64 = 729/512となり、いくらか緩和される。
こう考えると、拡張列は次の通りになる。
(7)(11)(1)(9)(7): 81/64、(7)(11)(1)(9)(15): 81/64、(7)(11)(1)(9)(11): 81/64
(7)(11)(9)(7): 27/16、(7)(11)(9)(15): 27/16、(7)(11)(9)(11): 27/16
(11)(9)(7): 9/8、(11)(9)(15): 9/8、(11)(9)(11): 9/8
さらに列の先頭に(15)を配した列が加わる。
(15)(7)(11)(1)(9)(7): 243/128、(15)(7)(11)(1)(9)(15): 243/128、(15)(7)(11)(1)(9)(11): 243/128、(15)(7)(11)(9)(7): 81/32、(15)(7)(11)(9)(15): 81/32、(15)(7)(11)(9)(11): 81/32
もちろん、タイプ遷移図を見れば、(11)(9)(7): 9/8、(11)(9)(15): 9/8、(11)(9)(11): 9/8 の列の先頭に(15)を加えることはできないことが分かる。
これらに加えて、(15)を追加したことによる悪影響を緩和するために(11)(1)の後に、(1)、(1)(1)が加わることになる。こうなると、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(7): 729/512 、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(15): 729/512、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(11): 729/512 、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(7): 2,187/2,048、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(15): 2,187/2,048 、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(11): 2,187/2,048 となる。(11)の後に-(1)(1)(1)(1)が追加されたときは、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(1)(9)(7): 6,561/8,192、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(1)(9)(15): 6,561/8,192 、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(1)(9)(11): 6,561/8,192 となり1以下に収束する。
先頭に15を追加したためにさらなる問題も出て来る。それは、(15)(7)(3)(13)(11), (15)(7)(3)(13)(7), (15)(7)(3)(13)(15)という列である。(7)(3)(13)(11), (7)(3)(13)(7), (7)(3)(13)(15)であれば、(13)からの遷移で、3/8倍されるため(7)(3)(13)-(1) | (9) | (5) | (13) | (3) | (11) | (7) | (15)の列は27/32倍となって1以下に収束してしまうが、先頭に(15)が追加されると、(15)からの遷移の3/2倍によって3/2 x 27/32 =81/64となって拡張列に転じてしまうためである。ということは、この(15)が列の途中に出現する時にも同様のことが起こることになる。途中に(15)が出現する時は、n x 27/32 > 1で、その(15)までの時点で、倍率が32/27以上の時は、…(15)-(7)(3)(13)-(1) | (9) | (5) | (13) | (3) | (11) | (7) | (15)は3/8倍にも関わらず1以下には収束しないことになる。
ここからの計算では、大変大きな数が出現するので計算機を使っても計算できない。そこで、次のように計算結果を簡略化した。分子、分母のいずれか大きな数字の桁の数が6桁を越えたら、6桁内に収まるように分子分母の桁をシフトして、小数点以下の数字を四捨五入して、計算結果としている。
なお、今後の計算で、(5)では、(5)タイプ内の処理で3/16になる場合は、(3/16)と書いて計算している。また、(13)に遷移した時は、(13)からの遷移の結果、倍率が1以下になる場合は(3/8)と書いて計算予測を先取りする形で、記述を簡略化している箇所がある。ただし、(13)からの遷移ではまだ倍率が1以下にならない場合は、その後の計算を考慮して、(13)(1), (13)(3), (13)(5), …, (13)(15)のように具体的に計算を列挙している。
以上に列挙した21通り（それプラス途中で15が出現する場合）について、最後まで計算をし続ければよいのだが、現時点では無理である。場合分けの数が天文学的に多くなり、計算機の能力を優に超えてしまう。おそらく、計算機がどれだけ発達しても計算機の能力を超えてしまうはずである。それは、15の桁が最小桁から何十兆個、何百京個、何千垓個も並ぶ数はいくらでも簡単にできてしまうからである。
いずれに場合も、ほとんど同じ分岐であることが分かる。最初の拡大列の倍率が持ち越されることと、最後の遷移が(7)、(15)、(11)のいずれかで違っているだけでほとんど同じことである。何故なら、(7)で終わっているタイプは次に(7)(3)と進むか、(7)(11)と進むかである。(7)(3)と進んだ時は次は、(7)(3)(5)あるいは、(7)(3)(13)と進む。(7)(3)(5)と分岐した場合は、殆どの場合、ここで1以下の倍率に収束してしまう。(7)(3)(13)と進む場合も、3/8倍されるので、ここで収束してしまうことがほとんどであるが、運悪く収束しきれない場合もある。その場合でも更に、(13)-(1) | (9) | (5) | (13)から先に分岐が進めばやがて1以下に収束する。(13)-(3) | (11) | (7) | (15)と進んだ時は、(3)へと分岐した場合以外は茨に道に足を踏み入れることになる。つまり、この場合にも、(7)、(15)、(11)へと分岐することになる。(7)(11)へと分岐した場合でも、(7)(11)(1)へと分岐すれば、何回かの分岐のうちに1以下に収束する。これに対して、難しいのが、(7)(11)(9)と分岐した場合である。この場合も、更に(7)(11)(9)-(7) | (15) | (11)へと分岐すれば、更に難しい道に足を踏み入れたことになる。いずれにしても、-(7) | (15) | (11)への分岐である。しかし、どのように分岐しても、どんなに分岐が深くなっても、必ず1以下に収束すると予想される。それから、どれだけ深く潜っていくかは最終的には、出発点からの拡大列の持つ値の違いである。最初に(11)から出発したものは戻ってきやすいが、3/2で遷移する(7)、(11)、(15)が重なる(7)(11)、(15)(7)(11)は難しくなるが、ただし(11)の後に(1)が続くと、ここで3/4倍されるので、困難さが緩和される。更に(1)(1)と続けばさらに困難さが緩和されることになる。
最初の拡大列の倍率が大きければ大きいほど、後々の分岐計算では、分岐が深くなるはずである。
具体的な分岐計算については、以下を参照のこと。ただし、以下の分岐計算で、1以下に収束することを証明することはできなかった。分岐の数が天文学的に増えてしまい、おそらく今後どんなに計算機が発達しても無理であろうと推測できる。以下の計算結果は、如何に分岐計算が難しいかを示すためのものにすぎないことをお断りしておく。
(11)(9)(7): 9/8については、こちら。(11)(9)(15): 9/8については、こちら。(11)(9)(11): 9/8については、こちらを。
(7)(11)(1)(9)(7): 81/64以降の分岐はこちらを。(7)(11)(1)(9)(11): 81/64はこちらを。(7)(11)(9)(7): 27/16以降の分岐についてはこちらを、(7)(11)(9)(11): 27/16以降の分岐についてはこちらを参照のこと。
(15)(7)の列については、こちらを参照のこと。(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(7): 2,187/2,048、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(15): 2,187/2,048 、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(11): 2,187/2,048、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(7): 729/512 、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(15): 729/512、(15)(7)(11)(1)(1)(9)(11): 729/512、(15)(7)(11)(1)(9)(7): 243/128、(15)(7)(11)(1)(9)(15): 243/128、(15)(7)(11)(1)(9)(11): 243/128、(15)(7)(11)(9)(7): 81/32、(15)(7)(11)(9)(15): 81/32、(15)(7)(11)(9)(11): 81/32
分岐計算では証明が不可能と分かったので、別の道を探すこととする。
2桁の数について、コラッツ予想が成り立つことの証明
本稿では、小さい整数から順次コラッツ予想が正しいことを証明できていると仮定しているので、ここでは<0, 3>から、<15, 15>までの整数について計算して、<1, 0> → <0, 1>に収束することをしめす。証明は、こちらを参照のこと。
<1, 5>を除くと、<0, 3> ~ <15, 15>の全ての奇数は最後に<0, 1>に収束する前に、<0, 5>となり、次の操作で、3<0, 5> + 1 = <0, 16> = <1, 0>となっている。<1, 5>の場合は、3<1, 5> + 1 = <3, 16> = <4, 0> → <1, 0>となる。例外的に<0, 21>は3<0, 21> +1 = 64 → 32 → 16 = <1, 0> → <0, 1>となる。したがって、<0, 3> ~ <15, 15>の全ての整数が<0, 1>に収束する前に一旦<1, 0>になっていることが分かる。この時、最小桁がカットできるので、全体として桁が1つずつ小さい方にずれることになる。
15タイプを抜け出した時にどうなるのか？
<<15, 15>, 15>のように最小桁から、15が並んでいる場合に、最上位桁は、0、つまり偶数と考えることが出来る。そして、15の並びが1つ崩れる時に、その崩れた桁は必ず7になっている。その後、15の連続数はしばらく変わらないが、また1つ15が崩れるとき、その桁は7となるはずである。このように考えると、15の連続が0になった時点では、必ずタイプ7になっている。例えば、<<15, 15>, 15>は15の連続から抜け出した時に、<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>となっている。これは、<<<15, 15>, 15>よりも大きな整数である。しかし、<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>にコラッツ操作を施し続けると<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>よりも、小さな値に収束することが予想される。
それでは、<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>がどのように変化していくか見てみよう。
3<<<<4,12>, 14>, 2>, 7> + 1 = <<<<12, 36>, 42>, 6>, 22> → <<<<6, 18>, 21>, 3>, 11> = <<<<6, 19>, 5>, 3>, 11> = <<<<7, 3>, 5>, 3>, 11>
3<<<<7, 3>, 5>, 3>, 11> + 1 = <<<<21, 9>, 15>, 9>, 34> = <<<<21, 9>, 15>, 10>, 18> = <<<<21, 9>, 14>, 26>, 18> = <<<<21, 8>, 30>, 26>, 18> = <<<<20, 24>, 30>, 26>, 18> → <<<<10, 12>, 15>, 13>, 9>
3<<<<10, 12>, 15>, 13>, 9> + 1 = <<<<30, 36>, 45>, 39>, 28> = <<<<30, 36>, 45>, 40>, 12> = <<<<30, 36>, 46>, 24>, 12> → <<<<15, 18>, 23>, 12>, 6> = <<<<16, 2>, 22>, 28>, 6> → <<<<8, 1>, 11>, 14>, 3>
3<<<<8, 1>, 11>, 14>, 3> + 1 = <<<<24, 3>, 33>, 42>, 10> = <<<<24, 3>, 34>, 26>, 10> = <<<<24, 4>, 18>, 26>, 10> → <<<<12, 2>, 9>, 13>, 5>
3<<<<12, 2>, 9>, 13>, 5> + 1 = <<<<36, 6>, 27>, 39>, 16> = <<<<36, 6>, 27>, 40>, 0> = <<<36, 6>, 28>, 24> → <<<18, 3>, 14>, 12> = <<<18, 2>, 30>, 12> → <<<9, 1>, 15>, 6> = <<<9, 1>, 14>, 22> = <<<9, 0>, 30>, 22> = <<<8, 16>, 30>, 22> → <<<4, 8>, 15>, 11>これで、出発点の<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>よりも小さい値になった。
ここで注意すべきことは、下から2桁目の値は上の桁への桁上がりや、2で割るときの調整として桁下がりがあるということである。しかし、いずれの場合も、16が引かれるか足されるかのいずれかであり、2桁の計算結果で下から2桁目が偶数の場合は、第3桁への桁上がり、3桁目からの桁下がりがあった時も偶数で、2桁の計算結果で下から2桁目が奇数の場合は、3桁以上がある時も奇数である。
次に、2桁の<2, 7>の遷移を確認してみよう。
3<2, 7> + 1 = <6, 22> → <3, 11>
3<3, 11> + 1 = <9, 34> = <10, 18> → <5, 9>
3<5, 9> + 1 = <15, 28> = <16, 12> → <4, 3>
3<4, 3> + 1 = <12, 10> → <6, 5>
3<6, 5> + 1 = <18, 16> = <19, 0> → <1, 3>
<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>へのコラッツ操作で、末尾の2桁は、 …>, 3>, 11>となっている。これは2桁の計算結果と同じである。これは第3桁が偶数だからである。次に…>, 3>, 11>へのコラッツ操作では、…>, 13>, 9>となっている。これに対して、2桁の計算結果では、<5, 9>となっている。下から2番目の桁は違っているが、奇数であることは同じである。次に、…>, 13>, 9>への操作結果では、…>, 14>, 3>となっている。2桁の計算例では、<4, 3>である。やはり、最小桁は同じであるが、下から2番目の桁は異なっているが、共に偶数となっている。…>, 14>, 3>への操作結果は、…>, 13>, 5>であるが、2桁の計算例では、<6, 5> となっている。…>, 13>, 5>への操作結果は、…>, 40>, 0>で、2桁の計算例では、<19, 0>で同じである。つまり、<＊, 5>に辿り着くまでは（＊は0~15に任意の整数とする）、最小桁は3桁以上の例と、2桁の例では同じで、小さい方から2番目の値は必ずしも同じとは言えないが、偶数か奇数は同じである。これは、タイプ遷移図の上で同じルートを辿って<＊, 5>に辿り着くことを意味する。この後、<＊、0>の最小桁の0を削除して、桁全体を小さい方に1つずらして、新たに得られた数に対して同様の操作を繰り返して、最終桁の0を削除する。
最下位桁からの15の連続から抜け出した結果の整数にコラッツ操作を施していった場合、下から2番目の偶数奇数が同じで、最下位桁の数が同じというのは、3桁の15の連続から抜け出した結果得られた<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>に対するコラッツ操作に特有のことなのか、それとも一般的なことなのか。
ここで注視すべきなのは、最初のコラッツ操作を施した時、第3桁は「14」で偶数だということである。
3<<<<4,12>, 14>, 2>, 7> + 1 = <<<<12, 36>, 42>, 6>, 22> → <<<<6, 18>, 21>, 3>, 11> = <<<<6, 19>, 5>, 3>, 11> = <<<<7, 3>, 5>, 3>, 11>
しかし、それ以降の4回のコラッツ操作では、いずれも第3桁は奇数となっている。
第2桁はコラッツ操作をするたびに「2で割る」処理をするために桁間の値の調整をする。この時、最小桁と、第2桁、第3桁が共に偶数の場合は、第2桁は、2桁の整数と、3桁以上の整数では変わりがない。しかし、第3桁が奇数の場合は、桁の調整のために、第2桁は桁上がりが発生してその結果、第2桁が「-16」され、第3桁が「+1」されるか、逆に第3桁からの桁下がりが発生して、第3桁が「-1」され、その結果第2桁が「+16」されるかのいずれかの状況が発生する。つまり、コラッツ操作を行い「割る2」の処理を行う際に、桁上がり、桁下がりが発生してしまうために、第2桁の数に変化が現れるということだ。この「2で割る」処理の際の桁間の調整が2回行われると、1回目の「+16」、「-16」の効果は「+8」、「-8」となるが、新たな「+16」、「-16」の効果と合算すると「+16+8」、「+16-8」、「-16+8」、「-16-8」となり、第2桁の偶数・奇数には影響がない。3回目には、「+16+8+4」、「+16+8-4」、「+16-8+4」、「+16-8-4」、「-16+8+4」、「-16+8-4」、「-16-8+4」、「-16-8-4」となり、依然として、第2桁の偶数・奇数は同じである。4回目は、「+16+8+4+2」、「+16+8+4-2」、「+16+8-4+2」、「+16+8-4-2」、「+16-8+4+2」、「+16-8+4-2」、「+16-8-4+２」、「+16-8-4-2」、「-16+8+4+2」、「-16+8+4-2」、「-16+8-4+2」、「-16+8-4-2」、「-16-8+4+2」、「-16-8+4-2」、「-16-8-4+2」、「-16-8-4-2」となってまだ第2桁の偶数・奇数には変化がみられない。ところが、5回目の桁間の調整の際に第2桁は「+16+8+4+2+1」、「+16+8+4+2-1」、「+16+8+4-2+1」、「+16+8+4-2-1」、「+16+8-4+2+1」、「+16+8-4+2-1」、「+16+8-4-2+1」、「+16+8-4-2-1」、「+16-8+4+2+1」、「+16-8+4+2-1」、「+16-8+4-2+1」、「+16-8+4-2-1」、「+16-8-4+２+1」、「+16-8-4+２-1」、「+16-8-4-2+1」、「+16-8-4-2-1」、「-16+8+4+2+1」、「-16+8+4+2-1」、「-16+8+4+2+1」、「-16+8+4+2-1」、「-16+8-4+2+1」、「-16+8-4+2-1」、「-16+8-4-2+1」、「-16+8-4-2-1」、「-16-8+4+2+1」、「-16-8+4+2-1」、「-16-8+4-2+1」、「-16-8+4-2-1」、「-16-8-4+2+1」、「-16-8-4+2-1」、「-16-8-4-2+1」、「-16-8-4-2-1」のように第2桁の偶数・奇数が反転してしまうことになる。第2桁の偶数・奇数が反転してしまうと、その後のルートが変わって違うタイプに遷移してしまうことになるので、末端の2桁が<1, 0>になる前に、違うタイプへの遷移が発生してしまえば、その新たなタイプからやり直しということになる。
偶数・奇数の反転によるタイプ遷移の変換は、タイプ1とタイプ9、タイプ5とタイプ13、タイプ7とタイプ15、タイプ3とタイプ11で起こっていることはタイプ遷移図を見ると確認できる。ただし、「割る2」の処理に伴う偶奇の変換が、タイプ遷移内の処理の中で起こるかもしれないタイプ1とタイプ9のときは、(u, 1) | (u, 9)と(u, 5) | (u, 13)の間、(u, 7) | (u, 15)と(u, 3) | (u, 11)の間でも起こり、更にタイプ遷移内の「割る2」の処理が2回行われるタイプ13内の処理では、［{(u, 1) | (u, 9)} | ｛(u, 5) | (u, 13)｝］| ［｛(u, 7) | (u, 15)} | ｛(u, 3) | (u, 11)｝］の間でも起きる可能性がある。
もう一度タイプ遷移図を確認してみよう。ここで気がつくのは、既に何度か説明したが、タイプ15をルートとしたツリー構造と部分木のツリー構造が相似形になっていることである。ただし、1カ所だけ相似形が左右反転しているところがある。それは、(s, 9)をルートとした部分木と、(s, 13)配下の<t, 12>の配下の部分木の偶奇が反転していることである。
ここからは、第2桁が偶数での分岐を(s, 9)e<t, 14>、奇数での分岐を(s, 9)o<t, 6>のように表現することにする。(s, 9)e<t, 14>-e(u, 7) | o(u, 15), (s, 9)o<t, 6>-e(u, 3) | o(u, 11)となるが、(s, 13)の配下の部分木では、<t, 12>e<u, 6>- e(v, 3) | o(v, 11), <t,12>o<u, 14>-e(u, 7) | o(u, 15)となっている。
相似形の破れについて
(s, 9)をルートとした部分木と、(s, 13)配下の<t, 12>の配下の部分木の偶奇が反転しているのは何故だろうか。
理由は単純である。タイプ別の分岐についてもう一度考えてみよう。
＜タイプ9＞
3<s, 9> + 1 = <3s, 28>
sが偶数のとき、<3s, 28> → <t, 14>
tが偶数のとき、<t, 14> → <u, 7>
tが奇数のとき、<t, 14> = <t-1, 30> → <u, 15>
sが奇数のとき、<3s, 28> = <3s+1, 12> → <t, 6>
tが偶数のとき、<t, 6> → <u, 3>
tが奇数のとき、<t, 6> = <t-1, 22> → <u, 11>
＜タイプ13＞
3<s, 13> + 1 = <3s, 40>
sが偶数のとき、<3s, 40> = <3s+2, 8> → <t, 4>
sが奇数のとき、<3s, 40> = <3s+1, 24> → <t, 12>
(s, 9)をルートとした部分木では、e<t, 14> | o<t, 6>で枝分かれしているが、(s, 13)の配下の<t, 12>をルートとした部分木では、e<u, 6> | o<u, 14>で枝分かれしている。これは単に、(s, 9)の「9」と(s, 13)の「13」の違いにすぎない。
奇数分岐の効果の累積について
(s, 13)の配下の<t, 12>まで、第2桁が奇数という状態が3ステップ連続していることに着目してみよう。ここで、<<a2, a1>, a0>という整数について考えてみることにする。<a1, a0>については既に検討しているので、a1の調整が済み、a1が偶数（a0は偶数とする）になっていると仮定する。ここで、a2が奇数で、調整が必要であるという点から話を始めることとする。
最小桁と第2桁が偶数、あるいは第2桁を偶数に調整する必要があれば調整した後で（ただし、ここまでの調整は既に済んでいると仮定する）、第3桁の調整を行う。<<a2, a1>, a0>で、a2が奇数の場合は、桁間の調整でa2はa2-1、a1はa1+16、あるいはa2+1、a1-16となる。これを2で割って、第2桁はb1+8、b1-8と表現できる。これを再度3倍して、上の桁からの桁下がり、上の桁への桁上がりを考える。例えば、b1+8の場合は、3b1+24(これはb1+8+16と表すことが出来る）となり、「2で割る」とc1+12となる。これはc1+4+8と表現することもできる。桁上がり、桁下がりを合わせて考えると、c1+4+8、c1+4-8、c1-4+8、c1-4-8となる。ここで、問題なのは「b1」が奇数の場合である。これは、2桁の計算の中で吸収されているはずである。今問題としているのは、第3桁からの桁下がり、あるいは第3桁への桁上がりなので、「b1+8」の「+8」、「3b1+24」の「+24」に着目して議論している。
タイプ間の遷移で、奇数タイプが連続するのは、2回のみであるが、実は、(q, 7)o(r, 3)o(s, 13)の列の末尾の(s, 13)の最初の処理で、(3n+1)/2の処理を1回行っている。c1+4+8に対して3回目の処理を施すと、3c1+12+24となり、これを「2で割る」ことで、d1+6+12となる。他の表現も合わせると、d1+6+12、d1+6-12、d1-6+12、d1-6-12となる。これらは、d1+2+4+4+8、d1+2+4-4-8、d1-2-4+4+8、d1-2-4-4-8と表現することもできる。タイプ間の遷移で、第2桁が奇数の遷移が繰り返されるのは、(q, 7)o(r, 3)o(s, 13)のみで、それ以外はタイプ内での処理が介在している。
では、タイプ内の処理ではどうか。最初の1回は、(3n+1)/2の処理をするが、2回目、3回目は「割る2」の処理だけである。b2が奇数の場合は、b1+8、b1-8は、b1+8+16、b1+8-16、b1-8+16、b1-8+16となり、これらを「2で割る」と、c1+4+8、c1+4-8、c1-4+8、c1-4-8となる。更にc2が奇数なら、「2で割る」処理をすることで、d1+2+4+8、d1+2+4-8、d1+2-4+8、d1+2-4-8、d1-2+4+8、d1-2+4-8、d1-2-4+8、d1-2-4-8となる。
これから見えることは、タイプ間での(3n+1)/2の処理と、タイプ内での「割る2」の処理では、結果がとても良く似ていることである。タイプ間での処理と、タイプ内での処理の効果が累積すると考えてみよう。(3n+1)/2の処理を3回続けて、次にタイプ内の処理を加えてみよう。
e1+1+2+2+4+8、e1+1+2+2+4-8、e1+1+2+2-4+8、e1+1+2+2-4-8、e1+1-2-2+4+8、e1+1-2-2+4-8、e1+1-2-2-4+8、e1+1-2-2-4+8、e1-1+2+2+4+8、e1-1+2+2+4-8、e1-1+2+2-4+8、e1-1+2+2-4-8、e1-1-2-2+4+8、e1-1-2-2+4-8、e1-1-2-2-4+8、e1-1-2-2-4-8となる。
「2で割る」処理をする際の、上の桁の奇数を偶数に調整するために下の桁への「+16」の桁下がり(a2-1、a1+16)、下の桁からの桁上がり(a2+1、a1-16)の効果が累積する。このことが、<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>の計算結果が、<2, 7>の計算結果と次第に合わなくなってしまう原因である。つまり、<2, 7>にコラッツ操作を繰り返すと、やがて1に収束するという証明が、<<<<4, 12>, 14>, 2>, 7>にはそのままでは適用できないということになる。
タイプ間での(3n+1)/2の処理と、タイプ内での「割る2」の処理は、奇数分岐の累積による効果という点について言えば全く同じである。しかも、それは必ずしも連続している必要はないということになると、そのようなタイプ遷移図上でいくつも確認することが出来る。
桁間の調整をしようとして、第3桁との調整をすると、調整済みのはずの第2桁が奇数になってしまうために再度の調整が必要となる。第2桁が、もともと奇数なので、調整のためにa1-1、a0+16あるいは、a1+1、a0-16をしていたとしても、再調整で、a1-1、a0+16あるいは、a1+1、a0-16をもう一度することになり、結果として第2桁が偶数だったときと同じ処理になる。もともと、第2桁が偶数の場合も奇数となってしまう。従って、第2桁の偶奇が逆転してしまうことになる。その結果、枝分かれの部分の分岐が逆になってしまう。
第3桁からの影響と、第4桁からの影響、第5桁からの影響、更に上の桁からの影響がどんどん第2桁まで下りてくることになる。もちろん、第3桁からの影響と比べると、第4桁からの影響は単純に計算すると1/16となっている。更に、第5桁からの影響は1/256となるだろうと思われるが、しかし1に収束するまでのコラッツ操作が何百回、何千回、何万回、何億回になると予測すると決して小さな値ではない。
2桁の整数にコラッツ操作を施した場合に、最大の試行回数を必要とするのは<14, 7>と<14, 11>の46回である。これに対して4回以内で収束してしまう場合もある。例えば、<0, 5>, <1, 5>, <3, 5>, <5, 5>は1回、<0, 13>, <7, 1>, <13, 5>, <14, 3>は2回、<1, 1>, <2, 3>, <4, 5>, <4, 11>, <8, 13>は3回、<0, 11>, <1, 7>, <2, 13>, <3, 9>, <5, 13>, <11, 5>, <12, 9>は4回で1に収束する。20/128=5/32の割合で4回以内に1に収束してしまう。これは、下位2桁が同じ2桁の整数と3桁の整数のうち5/32は、奇数分岐の累積の効果が分岐の偶奇に影響を与える前に、2桁の整数は1に収束し、3桁の整数は2桁の整数に、あるいはコラッツ操作を施す前よりも小さな値にまで収縮すると言える。そして、もし小さい順に1に収束することを証明しているのなら、既に証明済みの整数にまで収縮してしまうことになり、3桁の整数も1に収束することが証明できたことになる。
これは奇数の分岐が連続した場合を想定しているが、必ずしも奇数分岐が連続している必要はない。実際は、偶数分岐が半分程度交じっているはずなので、5、6回までに1に収束するものは奇数分岐の累積効果が表れる前までに1に収束してしまうはずである。では、5回、6回で1に収束するものはどれだけあるか。5回で収束するのは、<0, 7>, <0, 15>, <1, 13>, <3, 13>, <7, 5>, <15, 1>, <15, 5>で、6回で収束するものは、<0, 9>, <1, 3>, <2, 5>, <9, 5>, <10,3>で、1回で収束するものから6回までに収束するものを合計すると32、32/128＝1/4となる。つまり、最小桁と第2桁が同じ2桁の整数と、3桁の整数の組み合わせのうち、コラッツ操作を何度か施しても、最小桁が同じで、第2桁の偶奇が同じという状態を保ちつつ、2桁の数字が1に収束し、3桁の整数は最小桁が0になるという組み合わせが、確実に言えるものだけでも5/32はあり、大まかな見積もりでは大体1/4程度になるということである。5/32については確実に言えることだが、1/4については「程度」としか言えない。何故かというと、これは上位桁の偶数、奇数の並び方次第だからである。
説明が複雑になるので、説明の仕方を少し簡略化することにする。4回の試行をセットとして考えることとする。このセットでは、このセット内に例えば1～３回で１に収束してしまう場合もあるが、それも併せて考える。４回未満で１に収束してしまうなら、そこで計算を止めればいいということである。
ここでもう一つ追加すべきことがある。5、6回で1に収束する場合については不確実性が伴うと言ったが、そうでない場合もある。それは、1回目の4回試行セットで1に収束できなかったものでも、「最初の4回試行セットで1に収束する整数」にまで変換されるものがあることである。これらは、仕切り直しの2回目の「4回試行セット」で確実に1に収束すると言ってよい。例えば、5回目までに収束する整数としては、<0, 7>, <0, 15>, <1, 13>, <3, 13>, <7, 5>, <15, 1>, <15, 5>があるが、これらは全て最初の4回試行セットで、「4回目までに1に収束する整数」として挙げた整数にまで遷移している。
では、6回目までに1に収束するものはどうか。<0, 9>, <1, 3>, <2, 5>, <4, 13>, <5, 1>, <9, 5>, <10, 3>などがある。これらにうち、<1, 3>と<10, 3>は最初の4回試行セットで、「4回目までに1に収束する」整数にまで遷移している。具体的には、<1, 3>は2回の試行で、<0, 11>に遷移しており、<0, 11>は4回の試行で1に収束することが分かっている整数である。また、<10, 3>は、2回の試行で、<1, 7>に遷移する。この<1, 7>は4回の試行によって、1に収束する。それ以外の、<0, 9>, <2, 5>, <4, 13>, <5, 1>, <9, 5>は、最初の4回試行セットで、「最初の4回試行セットで1に収束する」整数にあと1回で遷移する整数である。ただ、4回の試行セットでもう一度ペアの組み直しということになると、せっかくあと少しのところに近づいても、そのことが全く意味を持たなくなってしまう。
3桁の整数と下2桁が同じ2桁の整数を考えてみよう。コラッツ操作の度にタイプ型が変わり、第2桁の偶奇も変わっていくが、タイプ型と第2桁の偶奇が同じ限り、タイプ遷移図上の同じルートを辿って行く。従って、2桁の数字はある目的地に向かう乗り合いバスのような存在である。3桁の整数は、タイプ型と第2桁の偶奇が同じである限りそのバスに乗って進めばいいが、行き先が違うところで、そのバスを降りると考えてみよう。このタイプ型が同じで、第2桁の偶奇が同じ状態で行われたコラッツ操作の連続を「第3桁が奇数での分岐の効果が4回分累積するまでの連続試行のセット」あるいはもっと短く「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」と呼ぶことにしよう。第3桁の偶奇は平均的には半分半分で出現するはずなので、第3桁が奇数での試行が「4」にまで累積するまでに、通常は7、8回程度の試行が可能である。7回は、<1, 9>, <3, 1>, <3, 3>, <6, 3>, <6, 5>, <12, 5>, <12, 13>, <13, 9>、8回は、<2, 1>, <4, 1>, <4, 3>, <8, 3>, <8, 5>である。
「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」まで、コラッツ操作を連続的に行い、バスの目的地が異なる分岐点まで来たらそのバスを降りて（もちろん、途中で目的地に着いてしまう場合もあるが、その時はそこで降りることにすればよい）、また別の宛先のバスに乗り換えると考えると、1/4程度はバスから降りた時点で1に収束していることになる。
「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」で、最初にコラッツ操作を施した時点と異なる整数となっている、と言っても、当然、全くでたらめに整数が選択されるわけではない。タイプ遷移図上では、タイプ1に分岐すべき場合に、タイプ9になり、タイプ9に分岐すべき場合にはタイプ1になるというように規則的に分岐が変わる。このタイプ1とタイプ9のような組み合わせが、タイプ5とタイプ13、タイプ7とタイプ15、タイプ3とタイプ11である。「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」の間に2桁と3桁のペアはタイプ遷移図上の同じルートを通り、「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」の終わりにタイプが変更してしまうということは、タイプによって違いはない。タイプの変換が起り、ペアが解消され新しいペアが作られても、それ以降の「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」は、第1回目の「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」と同様の条件で行われ、同じ結果をもたらす。つまり、1/4は縮小し、3/4は拡大する。
2桁の整数と3桁の整数のペアが解消された時点で、3/4については1に収束することが出来ない。この時、末尾の整数は変化してしまっているので、この時の末尾2桁の数の並びに従って、3桁の整数は、新しい2桁の数字のペアを選ばなくてはならない。そして、「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」の後にまた新しい乗り物に乗り換えるのだ。どこに進んでいくかは、2桁の整数次第である。ただし、ここで注意すべきことは、1回目の「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」で、1に収束できなかったものについては、大きな整数になってしまっていることである。従って、2回目の「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」で、2桁の整数が1に収束したとしても、それとペアになっている3桁の整数は、2回目の「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」の開始時点、つまり1回目の試行セットの終わりの時点よりも小さくなっているというだけで、1回目の「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」の前の状態よりも小さい値になっているわけではないことだ。つまり、2回目では、1回目の終わりにまで戻すことしかできないので、更にもう1回必要となる。これで1/4が1以下にまで収束することが出来る。
さらに厄介なことは、3回目までに1以下に収束できない整数に関しては、過去の3回でどんどん大きくなってしまっている場合もある。過去の3回では、1+1+1=3回分拡大している場合、途中で1回縮小している場合（もちろん、残ったものは最初の1回目は拡大しているので、1+1-1=1、あるいは、1-1+1=1。ただし、1-1+1の場合は、もしかしたら2回目で1に収束している可能性も高い）について考えなくてはならない。最悪3回連続で拡大しているとすると、それを元の出発点に戻すまでに、その分の収縮が必要となり、元に戻すだけで3回の「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」が必要となるかもしれない。その上で更に1回縮小させる。これで、残りのうち1/4が1に収束する。と言っても、元に戻す処理から換算すると、(1/4)4となる。このように考えると、1に収束せずに拡大していってしまうものについて、元に戻す処理がだんだん大変になっていくことが分かる。しかし、一連の連続試行のセットを繰り返すと少しずつ1に収束する整数が確実に多くなっていくことが分かる。
もう一つ考えておく必要のあることがある。1/4程度は2桁の整数は1に収束し、3桁の整数は最小桁が0になる。この最小桁が0になったということをもって、小さな整数に遷移したと言い切れるのかである。通常の場合は、その整数自体が大きくなっても最小桁が0になることはあり得るからである。しかし、最小桁の2桁が全く同じ、2桁の整数と、3桁の整数のペアで、2桁の整数が1に収束し、3桁の整数の最小桁が0になった時、3桁の整数は実は増加していたということはあり得ないことである。何故なら、末尾2桁が同じ整数同士に「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」を施した時は、タイプ遷移図上の全く同じルートを辿って行く。同じルートを通ると拡大縮小の率は全く同じなので、2桁の整数が1に収束する時に、それとペアの3桁の整数が拡大してしまったということはあり得ないことである。
以上のことを考えると有限回の「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」を繰り返すことで3桁の整数は必ず1に収束するということが出来る。
3桁の整数が全て1に収束することが分かれば次は4桁の整数である。4桁の整数に関しても、末尾2桁が全く同じ整数をペアとして選んで、「奇数効果が4回分累積するまでの一連の連続試行のセット」を繰り返して、3桁の整数にまで縮小することを示す。3桁の整数については既に全て1に収束することが証明できているので、4桁の整数についても全て1に収束することが出来る。このようにして、5桁、6桁と順に証明を続けて行けば、どんなに大きな整数でも、それが有限の整数である限り全て1に収束することを証明することが出来る。従って、2桁の整数が全て1に収束することを証明すれば、全ての整数が1に収束することを証明できたことになる。そして、既に全ての2桁の整数については1に収束することを示しているので、全ての整数が1に収束することを証明することが出来た。（証明終わり）。
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