タイプの変化による縮小と拡大

＜以下の証明は、読者の方が”コラッツ予想の証明(再々改訂版)”を読んでいることを前提として進めています。まだ読んでいない方はこちらをお読み下さい。＞　

　コラッツ操作を行うたびに最下位桁の数値が変化していく。そして、最下位桁の数と、第2桁が偶数か奇数かによってタイプ遷移図上のコースが変化する。ここでは、タイプ遷移図上の分岐を通過する毎に出発点の整数に対してどのように増減していくかを検証し、出発点となった整数に対する倍率を示す。最下位桁の数（タイプ）を(n)で表し、タイプ(n)からタイプ(n+2)への変化を(n)(n+2)と表現することにする。

　倍率が１以下になった場合はそこで出発点の整数よりも小さい整数になったものとして検証をやめる。小さい整数から順次コラッツ予想が成立することを証明するという手順で証明を進めているとすれば、出発点よりも小さな値となった時点で証明済みの整数に帰着していることになるからである。

タイプ１の整数を出発点とするとき

(1)(1): 3/4

(1)(5): 3/4

(1)(9): 3/4

(1)(13): 3/4

タイプ1の整数を出発点とする場合は、(1)か(5)か(9)、あるいは(13)に遷移する。いずれの場合も合計で3/4となり、この遷移では必ず証明済みの整数にまで収束する。

タイプ3の整数を出発点とするとき

(3)(5): 3/2 ＊ただし、(5)の処理の中で3/16となるので、9/32となり縮小する。

(3)(13)(1): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(3): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(5): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(7): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(9): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(11): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(13): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(15): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)を出発点とした遷移では(5)か(13)に遷移する。(5)に遷移する場合は、(5)の処理の中で、3/16され、合計として9/32となる。(3)を出発点としタイプ13に遷移する場合は、タイプ13の処理の中で3/8されるので、全体として9/16となり、必ず証明済みの整数にまで収束する。なお今後は、(n)の次に(n+2)あるいは(n+4)に分岐する時は表現を簡略化するために、”|”を使って、(n)-(n+2)|(n+4)と書くことがある。

タイプ5の整数を出発点とするとき

(5)の中の処理で3/16されるので、出発点の整数よりも小さい証明済みの整数にまで収束する。

タイプ9の整数を出発点とするとき

(9)(3): 3/4

(9)(7): 3/4

(9)(11): 3/4

(9)(15): 3/4

(9)を出発点とする場合は、このあと(3)、(7)、(11)、(15)のいずれかに遷移し、合計として3/4となり、既に証明済みの整数にまで縮小する。

タイプ13の整数を出発点とするとき

(13)(1): 3/8

(13)(3): 3/8

(13)(5): 3/8

(13)(7): 3/8

(13)(9): 3/8

(13)(11): 3/8

(13)(13): 3/8

(13)(15): 3/8

(13)を出発点とする場合は、(1)、(9)、(5)、(13)あるいは(3)、(11)、(7)、(15)に遷移する。いずれの場合も、タイプ13の処理の中で2回の分岐を行い、それによって割る2の処理を2回しているので、合計で3/2 x 1/2 x 1/2 = 3/8倍されている。従って、いずれの場合も出発点となった整数よりも小さな既に証明済みの整数にまで収束することがわかる。

タイプ7の整数を出発点とするとき

　タイプ1、3、5、9、13の整数を出発点とするときは、出発点の整数よりも小さな整数に簡単に帰着することが分かったが、タイプ7、11、15の場合はどうか。タイプ7から確認してみよう。

　タイプ遷移図を見ると、タイプ7の整数を出発点とするときは、タイプ3あるいはタイプ11に遷移することが分かる。

　タイプ7から出発して、タイプ3を辿る場合は更にタイプ5あるいはタイプ13に遷移する。タイプ5に遷移する場合は、タイプ5の処理の中で3/16されるので、そのことを考慮すると、(7)(3)(5) = 3/2 x 3/2 x (3/16) = 27/64となる。

　タイプ7から出発して、タイプ3からタイプ13に至るケースでは、タイプ13の中で3/8されることを考慮すると、次のようになる。

(7)(3)(13)(1): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32

(7)(3)(13)(3): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32

(7)(3)(13)(5): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32

(7)(3)(13)(7): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32

(7)(3)(13)(9): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32

(7)(3)(13)(11): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32

(7)(3)(13)(13): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32

(7)(3)(13)(15): 3/2 x 3/2 x 3/8 = 27/32

以上のように、タイプ7からタイプ3に遷移したときはいずれの場合も、出発点の整数よりも小さい値で既に証明済みの整数に帰着することが分かる。

　タイプ7から出発してタイプ11を経由する場合は、その後タイプ1か、タイプ9へと分岐する。この分岐では、タイプ7からタイプ11への遷移で、3/2となり、その後タイプ1、タイプ9への遷移で3/2となり、更にタイプ1からタイプ1、5、9、13へと遷移する。タイプ1からタイプ1、5、9、13への分岐で内部的に1/2されていることを考慮すると、3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16となる。

(7)(11)(1)(1): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16

(7)(11)(1)(5): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16

(7)(11)(1)(9): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16

(7)(11)(1)(13): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16

タイプ7から11を経由してタイプ9に至る場合も同様である。

(7)(11)(9)(3): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16

(7)(11)(9)(7): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16

(7)(11)(9)(11): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16

(7)(11)(9)(15): 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16

　これらの中で最後がタイプ1、5、9、13、3で終わっているものについては、内部処理の「割る2」があるので、減少することを簡単に証明することができるかもしれない。中でも最も簡単なのはタイプ5の場合である。タイプ5では内部処理で3/16されるので、その内部処理を考慮に入れると、(7)(11)(1)(5): 27/16 x (3/16) = 81/256となる。更に、タイプ13は内部処理で「割る2」を2回行うので、それを考慮すると、タイプ13から、次の(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)への遷移で3/8されることとなるので、(7)(11)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 27/16 x 3/8 = 81/128となる。

　タイプ3に分岐する場合はどうか。タイプ3では、内部処理の「割る2」がないのだが、その後タイプ5あるいはタイプ13に分岐するので大いに期待が持てる。

　タイプ5に分岐する場合は次のようになる。

(7)(11)(9)(3)(5): 27/16 x 2/3 x (3/16) = 243/512となる。

　タイプ3からタイプ13に分岐する場合は、次に(1)、(3)、(5)、(7)、(9)、(11)、(13)、(15)のいずれかのタイプに分岐する。3から13への分岐で、3/2され、更に13から(1)、(3)、(5)、(7)、(9)、(11)、(13)、(15)のいずれかへの分岐で3/8（= 3/2 x 1/2 x 1/2）されるので、次のようになる。

(7)(11)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 27/16 x 3/2 x 3/8 = 243/256

従って、いずれも出発点の整数よりも小さい既に証明済みの整数にまで収束する。

　(7)(11)(1)(1)、(7)(11)(1)(9)についても、最後が内部処理で「割る2」を1回行うタイプ1とタイプ9なので少し希望が持てる。

　初めに(7)(11)(1)(1)について確認する。

(7)(11)(1)(1)(1): 27/16 x 3/4 = 81/64

(7)(11)(1)(1)(5): 27/16 x 3/4 x (3/16) = 243/1024 　＊3/16はタイプ5の中の処理

(7)(11)(1)(1)(9): 27/16 x 3/4 = 81/64

(7)(11)(1)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 27/16 x 3/4 x (3/8) = 243/512 　＊13からの先の遷移についても考慮に入れている。

(7)(11)(1)(1)(1)と、(7)(11)(1)(1)(9)についてはまだ拡張している。次に、タイプ1は、(1)|(9)|(5)|(13)に分岐し、タイプ9は(7)|(15)|(3)|(11)に分岐している。このことを考慮すると次のようになる。

(7)(11)(1)(1)(1)(1): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

(7)(11)(1)(1)(1)(5): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

(7)(11)(1)(1)(1)(9): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

(7)(11)(1)(1)(1)(13): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

タイプ9からの分岐についても同じようになる。

(7)(11)(1)(1)(9)(3): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

(7)(11)(1)(1)(9)(7): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

(7)(11)(1)(1)(9)(11): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

(7)(11)(1)(1)(9)(15): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

　次に、(7)(11)(1)(9)についても検討する。タイプ9はその後、(7)|(15)|(3)|(11)へと分岐する。(7)、(11)、(15）は拡張してしまうが、(3)への分岐は縮小するので、(7)(11)(1)(9)(3)について検討してみよう。タイプ3はその後タイプ5あるいはタイプ13に分岐する。

タイプ5への分岐

(7)(11)(1)(9)(3)(5): 27/16 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 729/2048

タイプ13への分岐はその後、(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)へと分岐し、その時内部処理で3/8されるので、次のようになる。

(7)(11)(1)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 27/16 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 729/1024

　この結果、(7)(11)(1)(9)(7)と、(7)(11)(1)(9)(11)、(7)(11)(1)(9)(15)が残ったことになる。更に、(7)(11)(9)(7)、(7)(11)(9)(11)、(7)(11)(9)(15)が残っている。(7)(11)(1)(9)(7)についてはタイプ7に戻ってしまったので、今まで計算したことがそのまま繰り返されることになる。例えば、(7)(11)(1)(9)(7)の後に収束傾向の列が続いたとしても、それが(11)(1)(1)(9)(7)の場合は、 (7)(11)(1)(1)(9)(7): 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256で縮小傾向がそれほど大きくないので合計で、81/64 x 243/256 = 19683/16384となり、拡張傾向から脱却できない。(7)(11)(1)(9)(7)の後に、(11)(1)(9)(3)(13)が続くと、(7)(11)(1)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 27/16 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 729/1024なので、合計81/64 x 729/1024 = 59049/66176となって、出発点よりも小さな証明済みの整数以下に収束する。

タイプ11の整数を出発点とするとき

　タイプ11はその後タイプ1か、タイプ9に遷移する。タイプ11から、タイプ1、タイプ9への遷移の倍率はいずれも3/2で増加する。しかし、タイプ1から(1)、(5)、(9)、(13)、タイプ9から(3)、(7)、(11)、(15)に遷移し、いずれの場合も3/2 x 1/2 = 3/4となる。従って合計で3/2 x 3/4 = 9/8となり、わずかに増加している。

(11)(1)(1): 3/2 x 3/4 = 9/8

(11)(1)(5): 3/2 x 3/4 = 9/8

(11)(1)(9): 3/2 x 3/4 = 9/8

(11)(1)(13): 3/2 x 3/4 = 9/8

(11)(9)(3): 3/2 x 3/4 = 9/8

(11)(9)(7): 3/2 x 3/4 = 9/8

(11)(9)(11): 3/2 x 3/4 = 9/8

(11)(9)(15): 3/2 x 3/4 = 9/8

　タイプ11の整数が出発点の場合は、いずれもわずかに拡張している。従って、この後に、縮小傾向のタイプ1、タイプ3、タイプ5、タイプ9、タイプ13が続くときは簡単に縮小してしまうことが容易に予想される。なぜなら、タイプ1、タイプ9の場合は内部の分岐で1/2がそれぞれ1回となり、タイプ間の遷移分を合わせて3/2 x 1/2 = 3/4されるので、出発点のタイプ11からの分と合計で、9/8 x 3/4 = 27/32となるからである。タイプ13では、内部処理の分岐が2回あるので1/4となり、タイプ5ではタイプ内の処理で3/16される。また、タイプ3の場合は内部での分岐はないが、その後タイプ5あるいはタイプ13に分岐するので、それらの分を合計すると十分に1以下に収束することが予想されるからである。では実際に確認してみよう。

(11)(1)(1)(1): 9/8 x 3/4 = 27/32

(11)(1)(1)(5): 9/8 x 3/2 x (3/16) = 81/256

(11)(1)(1)(9): 9/8 x 3/4 = 27/32

(11)(1)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 9/8 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 243/1024

(11)(1)(5): 3/2 x 3/4 x (3/16) = 27/128

(11)(1)(9)-(7)|(15)|(3)|(11): 9/8 x 3/4 = 27/32

(11)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 9/8 x 3/2 x 3/8 = 81/128

(11)(9)(3)(5): 9/8 x 3/2 x (3/16) = 243/512

(11)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 9/8 x 3/2 x 3/8 = 81/128

　残ったのは(11)(9)(7): 3/2 x 3/4 = 9/8、(11)(9)(11): 3/2 x 3/4 = 9/8、(11)(9)(15): 3/2 x 3/4 = 9/8である。しかし、(11)は次に(1)あるいは(9)に分岐するので、もう少し計算してみよう。

(11)(9)(11)(1): 3/2 x 3/4 x 3/2 = 27/16

(11)(9)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 27/16 x 3/4 = 81/64

(11)(9)(11)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

(11)(9)(11)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 27/16 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256

(11)(9)(11)(1)(5): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x (3/16) = 27/16 x 3/4 x (3/16) = 81/64 x (3/16) = 243/1024 ＊(5)の内部処理も追加

(11)(9)(11)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 27/16 x 3/4 x 3/8 = 81/64 x 3/8 = 243/512

(11)(9)(11)は3/2 x 3/4 = 9/8なので、ここから(1)に分岐する場合は全て倍率1以下にまですんなりと収まっていることが分かる。これに対して(9)に分岐する場合はどうだろうか。計算してみよう。

(11)(9)(11)(9): 3/2 x 3/4 x 3/2 = 27/16

(11)(9)(11)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 27/16 x 3/4 = 81/64となり、(3)が続く時以外は拡大してしまうので、倍率1以下にまで収束するにはかなり長い道のりを必要とすることが容易に分かる。

(11)(9)(11)(9)(3)(5): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 27/16 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 81/64 x 3/2 x (3/16) = 729/2048

(11)(9)(11)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 27/16 x 3/4 x 3/2 x 3/16 = 81/64 x 3/2 x 3/8 = 729/1024

残ったのは(11)(9)(7)、(11)(9)(11)(9)-(7)|(11)|(15)、(11)(9)(15)でいずれもタイプ7、タイプ11、タイプ15で終わっている。

タイプ15の整数を出発点とするとき

　タイプ15の整数を出発点とする場合は、それに続く遷移はタイプ7かタイプ15である。タイプ15の連続については別に考える必要があるので、ここではタイプ15からタイプ7への遷移についてのみ検討する。タイプ15からタイプ7への遷移では3/2に拡大する。タイプ7からの遷移については既に検討済みである。(7)(11)(1)(9)(7)と、(7)(11)(1)(9)(11)、(7)(11)(1)(9)(15)、(7)(11)(9)(7)、(7)(11)(9)(11)、(7)(11)(9)(15)については拡張しているので、最初にタイプ15からタイプ7への遷移で出発している場合は、更に3/2されるので、合計で拡張されることになる。(7)(11)(1)(9)(7)と、(7)(11)(1)(9)(11)、(7)(11)(1)(9)(15)、(7)(11)(9)(7)、(7)(11)(9)(11)、(7)(11)(9)(15)以外については縮小していることが分かっている。しかし、15から7に遷移する過程で既に3/2されているので、これを打ち消すほどに縮小していなくては全体として縮小しているとは言えない。つまり、タイプ15から出発した場合は、タイプ7から出発した場合と比較して、最初に3/2倍される分だけ、縮小が難しいということになる。

　では実際に確認してみよう。

(15)(7)(3)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x (3/16) = 81/128 ＊ただし、3/16はタイプ5内の処理

(15)(7)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/8 = 81/64

(15)(7)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 81/32

(15)(7)(11)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 81/32

(15)(7)(3)(5)以外は全部拡大しているので、その後の分岐を検討する必要がある。

(15)(7)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)について検討する。タイプ13の次に(1)|(3)|(5)|(9)|(13)に分岐する時は減少に転じるので、出発時点の整数よりも小さい整数にまで縮小するかについて検討してみよう。簡単そうなものは、(5)|(3)|(13)の時である。

(15)(7)(3)(13)(5): 81/64 x (3/16) = 243/1024　＊タイプ5の内部での処理を追加した

となり、(5)が続く時は出発点となった整数よりも小さい整数にまで帰着する。

(15)(7)(3)(13)(3)については、その後(5)|(13)が続くので、それぞれについて確認してみよう。

(15)(7)(3)(13)(3)(5): 81/64 x 3/2 x (3/16) = 729/2048

(15)(7)(3)(13)(3)(13): 81/64 x 3/2 x (3/8) = 729/1024

となり、いずれも出発点となった整数よりも小さな整数にまで収束している。(13)に更に(13)が続くときも簡単に倍率1以下に収束する。

(15)(7)(3)(13)(13): 81/64 x (3/8) = 243/512

次に(15)(7)(3)(13)-(1)|(9)について検討する。

(15)(7)(3)(13)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 81/64 x 3/4 = 243/256となる。(5)は更に内部処理で3/16され、(13)はその次の(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)への遷移で更に3/8され、(1)|(9)では次の遷移で更に3/4されることになるが、243/256となった時点で、出発点の整数よりも小さくなっているので、ここまでで十分である。

(15)(7)(3)(13)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 81/64 x 3/4 = 243/256となり、いずれも出発点となった整数よりも小さい整数にまで収束している。しかし、(15)(7)(3)(13)-(7)|(11)|(15)については、いずれも拡大してしまうのでこれに続く列に関する検討は取り敢えず保留としておく。

　次に、(15)(7)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 81/32と、(15)(7)(11)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 81/32について検討する。(15)(7)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13)については4つの場合がすべて縮小傾向であるので、一旦拡張してしまった81/32をどこまで縮小させることができるかが問題となる。

　(15)(7)(11)(1)(5)については、タイプ5の中の処理で3/16される。

(15)(7)(11)(1)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x (3/16) = 243/512

となり、一気に出発点の整数よりも小さな証明済みの整数にまで縮小する。

(15)(7)(11)(1)(13)についてもタイプ13から次の(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)への遷移で3/8されるので、かろうじて出発点の整数よりも収縮することになる。

(15)(7)(11)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 243/256　

　(15)(7)(11)(1)(1)については、更に(1)|(5)|(9)|(13)のいずれかに分岐するが3/4なので一気に出発点の整数よりも小さくなることは難しい。同じことは、(15)(7)(11)(1)(9)についても言える。(15)(7)(11)(1)(9)はその後(7)|(15)|(3)|(11)のいずれかに分岐し、拡大率は3/4である。

(15)(7)(11)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 243/128

(15)(7)(11)(1)(9)-(7)|(15)|(3)|(11): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 243/128

(15)(7)(11)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 243/128については、-(1)|(5)|(9)|(13)がいずれも縮小傾向なので、このまま処理を続けると、全体として1以下になることが期待できる。

　初めに簡単そうなタイプ5、タイプ13が続く場合について確認していく。タイプ5についてはタイプ内の処理で3/16になるので、タイプ内での処理を考慮に入れると、このままで(15)(7)(11)(1)(1)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x (3/16)= 243/128 x (3/16) = 729/2048となる。13が続く場合は、タイプ13から-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)への分岐で3/8されるので、(15)(7)(11)(1)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 243/128 x 3/8 = 729/1024となる。これに対して、タイプ1とタイプ9が続く時については、少し難しそうである。1回の延長では3/4されるだけなので、この処理を2回、3回と続ける必要がありそうである。では実際に計算してみよう。

(15)(7)(11)(1)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 = 729/512

まだだめであるが、タイプ5と13が続く時は、容易である。タイプ5が続く時はタイプ内の処理を考慮に入れるだけで問題は解決する。(15)(7)(11)(1)(1)(1)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x (3/16)= 243/128 x 3/4 x (3/16) = 729/512 x (3/16) = 2187/8192となり出発点の整数よりも小さな証明済みの整数にまで収束する。

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 243/128 x 3/4 x 3/8 = 729/512 x 3/8 = 2187/4096となって、出発点の整数よりも小さな証明済みの整数にまで収束する。ではタイプ1とタイプ9が続く時はどうか確認してみよう。ともに3/4倍されるだけなので微妙な数字になりそうである。

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 = 2187/2048となり、僅かながら倍率1以下にまでは届かない。

この場合も、タイプ5とタイプ13が続く時は簡単である。問題は、タイプ1とタイプ9が続く時である。しかし、既に2187/2048にまで辿り着いているので、更に3/4倍することで倍率1以下にまで届きそうである。ここでも、タイプ5とタイプ13が続く場合は容易である。

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(1)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x 3/4 x (3/16) = 729/512 x 3/4 x (3/16) = 2187/2048 x 3/16 = 6561/32768となり、タイプ5内の内部処理を追加しただけで、倍率1以下にまで収束した。

タイプ13については、次に-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)が続く。では計算してみよう。

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 243/128 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 729/512 x 3/4 x 3/8 = 2187/2048 x 3/8 = 6561/16384となり、こちらも倍率1以下にまで縮小している。

さて問題のタイプ1とタイプ９の場合であるが、こちらは既に後一歩のところまで縮んでいるので、3/4で十分である。

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 x 3/4 = 2187/2048 x 3/4 = 6561/8192

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 x 3/4 = 2187/2048 x 3/4 = 6561/8192

となって、いずれも倍率1以下にまで収束している。

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 = 2187/2048については、減少傾向にあるタイプ3についてだけ検証し、残りの(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)-(7)|(11)|(15)については保留とする。

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(3)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 729/512 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 2187/2048 x 3/2 x (3/16) = 19683/65536

(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)(3)(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/8) = 243/128 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 729/512 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 2187/2048 x 3/2 x (3/16) = 19683/32768

(15)(7)(11)(1)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4についてもタイプ3について検討し、(15)(7)(11)(1)(1)(9)-(7)|(11)|(15)については保留する。

(15)(7)(11)(1)(1)(9)(3)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 6561/16384となり、倍率1以下にまで収束している。

(15)(7)(11)(1)(1)(9)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/8) = 243/128 x 3/4 x 3/2 x (3/8) = 6561/8192となり、倍率1以下にまで収束している。

(15)(7)(11)(1)(9)-(7)|(15)|(3)|(11): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 243/128については、タイプ3が続く場合について検証し、(15)(7)(11)(1)(9)-(7)|(15)|(11)については保留とする。

(15)(7)(11)(1)(9)(3)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 243/128 x 3/2 x (3/16) = 2187/4096となり、倍率1以下にまで収束している。

(15)(7)(11)(1)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/8) = 243/128 x 3/2 x (3/8) = 2187/2048となり、惜しくも倍率1以下にまでは達していない。しかし、(5)が続く時は内部処理で3/16で、(13)についてはこの後3/8、(1)|(9)については3/4、(3)についてはこの後(5)、(13)に分岐するので、倍率1以下にまで到達することになる。(15)(7)(11)(1)(9)(3)(13)-(7)|(11)|(15)のように(7)|(11)|(15)が続く時は保留とする。

(15)(7)(11)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 81/32についても、(15)(7)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13)と同様の処理が行われることとなる。こちらは、縮小傾向のタイプ3のみを検証する。(15)(7)(11)(9)-(7)|(11)|(15)については更に拡大してしまうので、これ以降の列に関する検討は保留する。

(15)(7)(11)(9)(3)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 81/32 x 3/2 x (3/16) = 729/1024となり、倍率が1以下にまで収束することが分った。

(15)(7)(11)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 81/32 x 3/2 x 3/8　= 729/512となり、倍率1以下にはまだ届いていない。(5)への分岐、(13)への分岐、(3)を経由して(5)あるいは(13)へ分岐する場合は容易であることが予想されるが、(1)と(9)についてはギリギリで届かない。-(7)|(11)|(15)はまだまだ先が遠いと考えて間違いはない。では実際に確認しよう。

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x (3/16) = 81/32 x 3/2 x 3/8 x (3/16) = 729/512 x (3/16) = 2187/8192

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/8 = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/8 = 729/512 x 3/8 = 2187/4096

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(3)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/2 x (3/16) = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/2 x (3/16) 　= 729/512 x 3/2 x (3/16) = 6561/16384

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/2 x 3/8 = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/2 x 3/8 = 729/512 x 3/2 x 3/8 = 6561/8192

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/4 = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/4 = 729/512 x 3/4 = 2187/2048となってわずかに届かない。しかし、いずれも縮小列が続いているのでもうすぐである。

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(1)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/4 x (3/16) = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/4 x (3/16) = 729/512 x 3/4 x (3/16) = 2187/2048 x (3/16) = 6561/32768 ＊タイプ5の内部処理を追加

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/4 x 3/8 = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/4 x 3/8 = 729/512 x 3/4 x 3/8 = 2187/2048 x 3/8 = 6561/16384

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 x 3/4 = 2187/2048 x 3/4 = 6561/8192

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 x 3/4 = 2187/2048 x 3/4 = 6561/8192

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/4 = 729/512 x 3/4 = 2187/2048となり、こちらもわずかに届かない。こちらは(3)が続く場合だけ検証し、ー(7)|(11)|(15)が続く、(15)(7)(11)(9)(3)(13)(9)-(7)|(11)|(15)については保留として残す。

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(9)(3)(5): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/2 x (3/16) = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/4 x 3/2 x (3/16)= 729/512 x 3/4 x 3/2 x (3/16)= 2187/2048 x 3/2 x (3/16) = 19683/65536

(15)(7)(11)(9)(3)(13)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/2 x 3/8 = 81/32 x 3/2 x 3/8 x 3/4 x 3/2 x 3/8= 729/512 x 3/4 x 3/2 x 3/8= 2187/2048 x 3/2 x 3/8 = 19683/32768

(15)(7)(11)(9)(3)(13)-(7)|(11)|(15)については保留とする。

保留として残したものについての検討

　今までの検討の結果、保留として残したのはタイプ7で始まる(7)(11)(1)(9)-(7)|(11)|(15)、(7)(11)(9)-(7)|(11)|(15)と、タイプ11で始まる(11)(9)-(7)|(15)と(11)(9)(11)(9)-(7)|(11)|(15)、タイプ15で始まる(15)(7)(3)(13)-(7)|(11)|(15)、(15)(7)(11)(1)(1)(1)(9)-(7)|(11)|(15)、(15)(7)(11)(1)(1)(9)-(7)|(11)|(15)、(15)(7)(11)(1)(9)(3)(13)-(7)|(15)|(11)、(15)(7)(11)(1)(9)-(7)|(15)|(11)、(15)(7)(11)(9)(3)(13)(9)-(7)|(11)|(15)、(15)(7)(11)(9)(3)(13)-(7)|(11)|(15)、(15)(7)(11)(9)-(7)|(11)|(15)と、(15)の連続である。いずれもタイプ7、タイプ11、あるいはタイプ15で始まり、タイプ7、タイプ11、タイプ15で終わっている列である。タイプ7、タイプ11、タイプ15で始まる列が全て拡大列というわけではないことは今までの検証で分かった。

　保留として残したものが全体でどの程度あるかを求めてみよう。タイプ1、3、5、9、13で出発した列は全て倍率1以下にまで収束することが分った。つまり、5/8は直ちに収束する。これに対して、タイプ7、タイプ11、タイプ15から出発した整数列は直ちに収束するとは限らないことが分かった。3/8のうちどの程度が拡散列として残るのか計算してみよう。

枝葉の最後に示したのは、縮小するか拡大列として保留するか、その場合の出現割合である。縮小して倍率1以下にまでなる場合は”ok”と、拡大列として保留する場合は”保留”と表示した。

上の図のように倍率1以下に確実に収縮することを示せたのは1/4 + 1/4 + (1/64) x 4 + 1/16 + 1/64 + 1/16 + 1/16 = 49/64で、最初にタイプ7が選ばれるのは、1/8なので、それを合わせると1/8 x 49/64 = 49/512ということになる。拡大基調にあるとして保留としたのは15/64で、最初にタイプ7が選択される場合の1/8を考慮に入れると、15/512となる。

　次に最初に11が来る場合について考えてみよう。

拡大基調だとして保留したのは3/64と1/4で合わせると、19/64となる。最初に11が来るのは1/8なので、合計すると1/8 x 19/64 = 19/512ということになる。

　次にタイプ15から開始される場合について計算してみよう。

タイプ7の前にタイプ15が追加されているだけなのにタイプ7の図と比較すると格段に複雑になっていることがすぐに分かる。タイプ15が先頭に来ることで最初に3/2倍されることになる。従って、その後に縮小列が続くとしても、必ずしも最初の3/2の影響を払拭することができないため、タイプ7が最初に来る場合と比較して難しくなるためである。

　では、タイプ15が先頭に来る場合の計算をしてみよう。初めに、(7)|(15)に分岐して、分岐15は保留となる。タイプ7が続く時は1/2倍となる。保留となる場合を足していくと、1/2 + 3/64 + 3/2048 + 3/512 + 3/2048 + 3/128 + 3/2048 + 3/512 + 3/32 = 1393/2048となり、最初にタイプ15が来る割合は1/8なので、全体として1393/16384となる。

　タイプ7から出発したときの保留の率は15/512、タイプ11から出発したときの保留の率は19/512、タイプ15から出発したときの保留の率は1393/16384となる。これらを合計すると15/512 + 19/512 + 1393/16384 = (480 + 608 + 1393)/16384 = 2481/16384 = 0.151428223 ≒0.16 = 4/25となる。

　以上の計算結果を踏まえるて、保留として残したタイプ列に更にコラッツ操作を追加するとどうなるか考えてみよう。最初にタイプ1、タイプ3、タイプ5、タイプ7、タイプ9、タイプ11、タイプ13、タイプ15のいずれかの整数で出発する。それぞれの割合は1/8ずつである。そして、タイプ1、タイプ3、タイプ5、タイプ9、タイプ13で出発した整数は全て出発点の整数よりも小さな整数にまで収束し、その時点で証明済みの整数にまで縮んだことになる。割合としては、5/8である。これに対して、タイプ7で出発した整数は、15/64が出発点の整数にまで縮まりきらない。タイプ7で出発する割合と合わせると15/512が出発点の整数よりも拡大してしまうことになる。タイプ11で出発した整数は、19/64が拡大してしまう。タイプ11で始まる割合の1/8と合わせると、19/512ということになる。タイプ15は拡大の割合が極めて高い。それはタイプ15からタイプ15へと戻ってしまう割合が1/2あるからである。総合すると、1393/2048あり、更にタイプ15で出発する割合である1/8を掛け合わせると1393/16384となる。¹　

　タイプ7、タイプ11、タイプ15で始まる場合で拡大基調で終わっている場合は、全てタイプ7、タイプ11、タイプ15で終わっている。これらについて更にコラッツ操作を継続すると最初の計算とは少し違ってくる。最初の計算では全体として21/25は減少傾向で、4/25は更に拡大するという結果が得られたが、次はこの4/25に対してはタイプ7、タイプ11、タイプ15に対するコラッツ操作のみが継続されるからである。

　タイプ7からは(3)あるいは(11)に分岐して、(3)は縮小傾向である。タイプ11からは(1)あるいは(9)に分岐していずれも縮小傾向である。これに対してタイプ15は(7)あるいは(15)に分岐していずれも拡大傾向である。

拡大傾向の列に後続の列を続けてみると次のようになる。

(15)が連続する場合以外は、減少傾向の列が続くことになる。もちろん、減少傾向の列が続いても直ちに倍率1以下になるとは言えない。一旦拡大してしまっているので、単純な計算はできないからである。例えば、(7)で終わっている列に続いて、(11)(9)と続くと縮小するが、(9)の後に更に-(7)|(11)|(15)が続いてしまうとまた拡大してしまうし、(11)(9)-(3)と続いたとしても倍率1以下にまで縮小するとは断言できない。例えば、(11)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)と分岐する時は大抵の場合はここで倍率1以下になるのだが、運悪くそうならない場合は(11)(9)(3)(13)-(7)|(11)|(15)からまた拡大傾向に転じてしまう可能性がある。つまり、拡大傾向の列に後続の列が続いている場合、それが縮小傾向の列だとしても、今までの列の倍率を打ち消して倍率1以下にまで持っていけるかどうかが重要となってくる。ただ確実に言えることは、どんな列が続いたとしても、それが(15)でなければ倍率1以下にまで行く列が確実に増えていくことである。更に、有限の整数を扱う限り、(15)の連続はやがて止まり、(7)タイプに変化することである。そして、(7)タイプに変化すると、そこから確実に減少傾向になる列が現れて倍率1以下になっていく列の数が確実に増えていくことである。

(7)、(11)でスタートして(11）で終わっているタイプについての考察

　(7)、(11)で始まって最後が(11)で終わっているタイプの(7)(11)(1)(9)(11)、(7)(11)(9)(11)、(11)(9)(11)(9)(11)が簡単そうであるが、簡単には行かない。

(11)(9)(11)(9)(11): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 81/64

(11)(9)(11)(9)(11)(1): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 = 81/64 x 3/2 = 243/128

(11)(9)(11)(9)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 = 243/128 x 3/4 = 729/512

(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 = 2187/2048

(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 x 3/4 = 2187/2048 x 3/4 = 6561/8192

(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/4 x 3/4 = 2187/2048 x 3/4 = 6561/8192

(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)(5): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x (3/16) = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x 3/4 x (3/16) = 729/512 x 3/4 x (3/16) = 2187/2048 x (3/16) = 6561/32768

(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 243/128 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 729/512 x 3/4 x 3/8 = 2187/2048 x 3/8 = 6561/16384

(11)(9)(11)(9)(11)(1)(5): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x (3/16) = 81/64 x 3/2 x 3/4 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x (3/16) = 729/512 x (3/16) = 2187/8192

(11)(9)(11)(9)(11)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 243/128 x 3/4 x 3/8 = 729/512 x 3/8 = 2187/4096

(11)(9)(11)(9)(11)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 = 243/128 x 3/4 = 729/512

となる。(11)(9)(11)(9)(11)(1)に分岐した時は全て倍率1以下にまで縮小しているが、(11)(9)(11)(9)(11)(9)については簡単ではない。その先(3)に分岐するとすぐである。(11)に分岐する時も後少しなのだが、(7)と(15)に分岐すると先は長そうなので取り敢えず保留とする。

実際に(3)に分岐する場合について計算してみよう。

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(3)(5): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 729/512 x 3/2 x (3/16) = 6561/16384

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 729/512 x 3/2 x 3/8 = 6561/8192

(11)への分岐は一旦拡大するので少し手間がかかる事が予想される。(11)に分岐することで一旦3/2されてしまうからである。

(9)から(11)に分岐する場合について計算してみると次のようになる。

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 = 729/512 x 3/2 x 3/4

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(5): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x (3/16) = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x (3/16) = 729/512 x 3/2 x 3/4 x (3/16) = 19683/65536

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/8 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/8 = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 19683/32768

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 19683/16384

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)(5): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x (3/16) = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/4 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x (3/16) = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x (3/16) = 19683/16384x (3/16) = 59049/262144

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/8 = 19683/16384x 3/8 = 59049/131072

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 19683/16384 x 3/4 = 59049/65536

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 19683/16384 x 3/4 = 59049/65536

となる。

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/4 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 19683/16384

上の列は(3)への分岐だけ計算して、(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(9)-(7)|(11)|(15)については保留として残すことにする。

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(9)(3)(5): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x (3/16) = 19683/16384 x 3/2 x (3/16) = 177147/524288

(11)(9)(11)(9)(11)(9)(11)(1)(9)(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 81/64 x 3/2 x 3/4 x 32 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 243/128 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 729/512 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/2 x 3/8 = 19683/16384 x 3/2 x 3/8 = 177147/262144

(11)(9)(11)(9)(11)(9)-(7)|(15)についても保留として残す。

(7)(11)(1)(9)(11)と(7)(11)(9)(11)は、(7)(11)(1)、(7)(11)(9)の遷移で最初に3/2 x 3/2 = 9/4になってしまっているので、(11)を出発点とするときよりもさらに長い道のりを必要とするはずである。

実際に、(7)(11)(1)(9)(11)と、(7)(11)(9)(11)については計算してみたが、最後が(15)で終わっている場合について保留として残している。(7)で始まり(11)で終わるという比較的簡単そうな場合もこのようなことになっているので、これ以外の(7)あるいは(15)で終わっているタイプは計算の道のりが遥かに長くなることが分かる。²

減少傾向列に対する再検討

　タイプ1、3、5、9、13でタイプ遷移図上の遷移をスタートした列は全て倍率1以下になることは確認できた。しかし、タイプ7、11、15でスタートした場合についてはいくつかの場合に倍率1以下になることを確認できず保留として残したものが出てしまった。このような例では途中でタイプ1、3、5、9、13を経由することがあり、その場合には減少傾向に移ることになる。しかし、一旦拡大してしまったものを全体として倍率1以下にまで持っていくのは難しい。そこで、タイプ1、3、5、9、13の縮小傾向についてもう一度検証したいと思う。前回はタイプ1、3、5、9、13から初めて倍率1以下になった時点で、証明済みの整数にまで縮小したとして、それ以降の計算をやめてしまったが、その後の流れがどのようになるのかを確かめたいと思う。

タイプ13の減少列の再検討

(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/8 = 0.375

(13)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/8 x 3/4 = 9/32 = 0.28125

(13)(1)(5): 3/8 x 3/4 x (3/16) = 27/512 = 0.05273

(13)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 9/32 x 3/8 = 27/256 = 0.10546

この後(13)(1)(13)-(7)|(11)|(15): 9/32 x 3/8 = 27/256がどのように分岐して倍率をどのように変化させていくかを確認してみよう。一番簡単そうな(11)への分岐から確認する。

(13)(1)(13)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 9/32 x 3/8 x 3/2 x 3/4 = 27/256 x 3/2 x 3/4 = 243/2048 = 0.11865

ほとんど倍率的には変化がないが、この後(13)-(7)|(11)|(15)への分岐が気がかりである。

やはり一番簡単そうな(11)への分岐から確認してみよう。

(13)(1)(13)(11)(1)(13)-(7)|(11)|(15): 9/32 x 3/8 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 27/256 x 3/2 x 3/4 x 3/8 = 243/2048 x 3/8 = 729/16384 = 0.04449

(13)(1)(13)(11)(1)(13)(11)-(1)|(9): 9/32 x 3/8 x 3/2 x 3/4 x 3/8 x 3/2 = 27/256 x 3/2 x 3/4 x 3/8 x 3/2 = 243/2048 x 3/8 x 3/2 = 729/16384 x 3/2 = 2187/32768 = 0.06674

(13)(1)(13)(11)(1)(13)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 9/32 x 3/8 x 3/2 x 3/4 x 3/8 x 3/2 x 3/4 = 27/256 x 3/2 x 3/4 x 3/8 x 3/2 x 3/4 = 243/2048 x 3/8 x 3/2 x 3/4 = 729/16384 x 3/2 x 3/4 = 2187/32768 x 3/4 = 6561/131072 = 0.05005

(13)(1)(13)(11)(1)(13)(11)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 9/32 x 3/8 x 3/2 x 3/4 x 3/8 x 3/2 x 3/4 = 27/256 x 3/2 x 3/4 x 3/8 x 3/2 x 3/4 = 243/2048 x 3/8 x 3/2 x 3/4 = 729/16384 x 3/2 x 3/4 = 2187/32768 x 3/4 = 6561/131072 = 0.05005

多少のゆらぎを見せながら徐々に倍率が低下しているのが分かる。

次は、この後(13)(1)(13)-(7)|(11)|(15): 9/32 x 3/8 = 27/256の分岐のうち(7)への分岐について考えてみよう。(7)からの分岐は、(7)-(3)|(11)となり、(7)(11)と進んだ時は、上の例の3/2になるので、これに関しても徐々に倍率が低下していくことが分かる。では、(7)(3)と進んだ時はどうか。これに関しては(7)(3)(5)と(7)(3)(13)と分岐する場合があるが、ここでは気がかりな(7)(3)(13)-(7)|(11)|(15)について検討してみよう。

(13)(1)(13)(7)(3)(13)-(7)|(11)|(15)については、(13)(1)(13)-(7)|(11)|(15)の2番めの(13)の次に、(3)(13)が挿入されただけなので、3/2 x 3/2 = 9/4倍されるだけである。従って、この場合も徐々に縮小していくことになる。

(13)(1)(13)(15)と分岐する場合は、(13)(1)(13)(7)の3/2倍で、後の分岐は全く同じなので徐々に縮小していくことが分かる。ただし、(13)(1)(13)(15)から更に(15)へと分岐する場合は保留とする。(15)への分岐が連続する限り拡大する一方であるのは明らかである。ただし、有限の整数を対象とする限り(15)の連続は必ず破れるということは後で証明する。

(13)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/8 x 3/4 x 3/4 = 9/32 x 3/4 = 27/128

(13)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/8 x 3/4 x 3/4 = 9/32 x 3/4 = 27/128

(13)(3): 3/8

(13)(5): 3/8

(13)(7): 3/8

(13)(9): 3/8

(13)(11): 3/8

(13)(13): 3/8

(13)(15): 3/8

(13)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/8 x 3/4 x 3/4 = 9/32 x 3/4 = 27/128の(13)(1)(1)(9)-(7)|(11)|(15)も、(13)(1)(1)(13)-(7)|(11)|(15)も全く同じである。さらに、(13)(3)(13)-(7)|(11)|(15)も、更に(13)(7): 3/8、(13)(9)-(7)|(11)|(15): 3/8、(13)(11): 3/8、(13)(13)-(7)|(11)|(15): 3/8、(13)(15)(7): 3/8も、この後の分岐という点では全く同じで、徐々に多少揺れながら徐々に縮小していく。違いは(7)(11)(15)に至るまでの倍率の違いだけである。従って、確実に減少して何時かは倍率1以下にまでなることが分かる。例外は(15)から(15)へのループである。しかし、これについては何時かはこのループが外れることを後で説明する。

タイプ3の減少列の再検討

(3)(5): 3/2 ＊ただし、(5)の処理の中で3/16となるので、9/32となり縮小する。

(3)(13)(1): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(3): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(5): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(7): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(9): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(11): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(13): 3/2 x 3/8 = 9/16

(3)(13)(15): 3/2 x 3/8 = 9/16

タイプ(3)を経由するときも、その後(13)に分岐して、(3)(13)-(7)|(11)|(15)と分岐するときも、上の節で説明したように多少揺れながら徐々に減少していくので、出発点から総合的に計算しても倍率1以下にまで縮小することは明らかである。ただし、(15)から(15)に分岐する場合は、ここでも例外として、(15)の連続はいつかは途切れることは後で説明する。

タイプ1の減少列の再検討

(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/4 x 3/4 = 9/16

(1)(1)(5): 3/4 x 3/4 x (3/16) = 27/256

(1)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/4 x 3/4 x 3/8 = 9/16 x 3/8 = 27/128

(1)(1)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/4 x 3/4 x 3/4 = 9/16 x 3/4 = 27/64

(1)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/4 x 3/4 x 3/4 = 9/16 x 3/4 = 27/64

(1)(5): 3/4 x (3/16) = 9/64

(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15): 3/4 x 3/8 = 9/32

(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/4 x 3/4 = 9/16

ここまでの所、分岐が進めば進むほど、どんどん減少していることが分かる。問題は(9)-(7)|(11)|(15)、あるいは(13)-(7)|(11)|(15)と分岐した時にどれ位膨張して元に戻ってしまうかである。なお、ここでも(15)の連続については考慮しないことにする。

　ではさらに計算を進めてみよう。初めに(1)(1)(13)-(7)|(11)|(15)について検討する。この中では(11)への分岐が一番希望が持てるので、(1)(1)(13)(11)について検討する。

(1)(1)(13)(11)-(1)|(9): 3/4 x 3/4 x 3/8 x 3/2 x 3/4 = 9/16 x 3/8 = 27/128 x 3/2 x 3/4 = 243/1024

(1)(1)(13)(11)(1)-(1)|(5)|(9)|(13): 3/4 x 3/4 x 3/8 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 9/16 x 3/8 x 3/4 = 27/128 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 243/1024 x 3/4 = 729/4096

ここから先は、(1)(1)(13)(11)(1)-(1)|(5)|(9)についてはさらに縮小していくことになる。(1)(1)(13)(11)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)のうちの(1)(1)(13)(11)(1)(13)-(1)|(3)|(5)|(9)|(13)についてはさらに減少していくが、(1)(1)(13)(11)(1)(13)-(7)|(11)|(15)はどうかである。しかし、(13)から-(7)|(11)|(15)への分岐で3/8されているので、簡単には縮小傾向から抜けない。(7)に分岐する時は3/2されるが、その後(3)に分岐すれば、更に減少する。(7)の後、(11)に分岐してもその後、-(1)|(9)なので3/2 x 3/4 = 9/8され、3/8 x 9/8 = 27/64となり、今までの減少傾向を覆すことはできない。では、(1)(1)(13)(11)(1)(13)(9)-(7)|(11)|(15)はどうだろうか。これは、こちらは(13)の後に(9)への分岐が挟まっているだけ、(1)(1)(13)(11)(1)(13)-(7)|(11)|(15)の3/4となる。つまり、(1)(1)(13)(11)(1)については、その後-(13)-(15)と分岐しない限り、減少傾向を保つことになる

タイプ9の減少列の再検討

(9)(3): 3/4

(9)(7): 3/4

(9)(11): 3/4

(9)(15): 3/4

(9)-(7)|(11)|(15): 3/4、(9)(3)(13)-(7)|(11)|(15): 3/4 x 3/2 x 3/8 = 27/64はどうだろうか。(9)(7)の場合は、(9)(7)(11)(9)-(7)|(11)|(15): 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 81/64となり最初の貯金を食いつぶしてしまうことになる。(9)(3)(13)(7)の場合も、この後の(9)(3)(13)(7)(11)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/64 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 729/1024は、もう少しで、元に戻ってしまう。更に、(9)(3)(13)(7)(11)(9)(7)(11)(9)-(3)|(7)|(11)|(15): 3/4 x 3/2 x 3/8 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/64 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 729/1024x 3/2 x 3/2 x 3/4 = 19683/16384はとうとう最初の貯金の貯金をつい潰してしまうことになる。これについて考えてみよう。

　タイプ間遷移での倍率は(1)-(1)|(5)|(9)|(13)が3/4で縮小、(9)-(3)|(7)|(11)|(15)が3/4で縮小、(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)が3/8で縮小となる。ただし、(3)-(5)は3/2であるが、(5)のタイプ内の処理で3/16となる。また、(3)-(13)も3/2であるが(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)が3/8なので、あわせると(3)(13)-(1)|(3)|(5)|(7)|(9)|(11)|(13)|(15)は9/16となって縮小となる。従って、(3)-(5)|(13)もその後のステップを考えると縮小である。これに対して、(15)-(7)|(15)は3/2で拡大、(7)-(3)|(11)、(11)-(3)|(9)も拡大である。(15)の連続は除くとしても、(15)-(7)-(11)-(1)|(9)と分岐すると、3/2の分岐が3回連続して続いてしまい3/2 x 3/2 x 3/2 = 27/8となってしまう。(7)-(11)-(1)|(9)の分岐でも、3/2が2回続いてしまうので、3/2 x 3/2 = 9/4となってしまう。3/2の連続があると拡大してしまうということはタイプ遷移図で見ると、(15)が一番拡大しやすく、次に(7)、その次に(11)ということになる。(11)の場合でも、(11)-(9)-(7)|(11)|(15)は若干拡大するだけだが、例えば(11)-(9)-(11)-(9)-(11)-(9)と分岐していくと際限なく拡大してしまうことになる。(11)-(9)-(7)-(11)-(9)-(7)のように間に(7)が挟まると、更に拡大率が上がる。当然、(15)が挟まれば更に拡大率が上がる可能性がある。(15)、(11)、(7)が拡大のキーポイントとなるが、しかし、(15)、(11)、(7）と分岐しても縮小していく場合もある。前に示した樹形図をみると、(11)(9)(11)(9)-(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 81/64と分岐すると拡大してしまうが、(11)(9)(11)(1)(9)-(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64 x 3/4 = 243/256というように(11)と(9)の間に(1)が入ると、ここで3/4倍されることで、かろうじて縮小のままである。3/2の連続の中にどのように3/4、3/8、3/16は挟まっていくかがポイントとなる³。例えば、(11)からの分岐は、第2桁が偶数の時には(1)に分岐する。第2桁が奇数なら、(9)に分岐し、-(3)|(7)|(11)|(15)に進むことになる。タイプ遷移図を見ると、全体と、部分が相似形になっていることが分かる。(11)からの分岐と、(13)からの分岐は全く同じである。(11)から第2桁偶数で(1)に分岐したほうが縮小傾向を保ちやすい。(11)から(9)に分岐してしまうと拡大傾向になる。これは(13)からの分岐でも同様である。第2桁が偶数の場合は(1)|(9)|(5)|(13)に分岐するが、第2桁が奇数だと(3)|(7)|(11)|(15)に分岐してしまう。ただし、(13)からの分岐では3/8倍されるのでここから拡大傾向に転換してしまうことはあまりないが、絶対にないとは言えない。ここから、(7)|(11)|(15)に遷移して、拡大を始めると何時かは拡大列になってしまうかも知れない。ここで重要なのは、拡大傾向から減少傾向にどのように転移していくかである。それは、第2桁が偶数か奇数かということである。例えば、第2桁が偶数という分岐が続くと、たとえ(15)を出発点とする場合でも、(15)-(7)-(11)-(1)-(1)という分岐が起こり、更に第2桁が偶数という分岐が続くと更に(1)への分岐が起こり、3/2 x 3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 x 3/4 となる。更に第2桁が偶数なら、x 3/4が続くことになる。

第2桁の偶数・奇数の割合

　(11)(9)(11)(9)-(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 81/64のように進むとどんどん拡大してしまうことは確かである。しかし、このようなことがいつまでも続くことはあるのだろうか。もちろんないとは言えないだろうが、いつかは止まるものだと思われる。タイプ遷移図上で、どのように分岐していくかについてもう一度考えてみよう。

　初めに、第3桁を「0」として、第2桁との組み合わせを考えることにする。第3桁と第2桁を考える場合には(3n+1)/2をする際の「+1」は考慮する必要がない。考えておくのは、第1桁からの桁上がりである。桁上がりするのは第1桁が、5~15（の奇数）の場合で、桁上がりしないのは1と3である。従って、桁上がりするのは6/8、桁上がりしないのは2/8ということになる。

　3<0, 1> = <0, 3>で、第1桁からの桁上がりがない場合は、2で割るために第2桁を-1することになり(その結果、第1桁は+16されることになる)<0, 2>となり、桁上がりがある場合は<0, 4>となる。これらをそれぞれ2で割るので、<0, 2> → <0, 1>、<0, 4> →<0, 2>となる。つまり、<0, 1>となるのが1/4で、残りの3/4は<0, 2>となる。

　3<0, 2> = <0, 6>で、第1桁は(3n+1)/2の処理の結果、必ず偶数になっているはずなので、単純に2で割って、<0, 3>となる。

　以下同様に計算をすると、次のようになる。

3<0, 3> = <0, 9>で、第1桁からの桁上がりのない1/4の場合は、<0, 8/2> = <0, 4>。第1桁からの桁上がりのある3/4の場合は、<0, 10/2> = <0, 5>

3<0, 4> = <0, 12> → <0, 6>

3<0, 5> = <0, 15>で、第1桁からの桁上がりのない1/4の場合は、<0, 14/2> = <0, 7>。第1桁からの桁上がりがある3/4の時には、<0, 16/2> = <0, 8>

3<0, 6> = <0, 18> → <0, 9>

3<0, 7> = <0, 21>で、第1桁からの桁上がりのない1/4の場合は、<0, 20/2> = <0, 10>。第1桁からの桁上がりがある3/4の時は、<0, 22/2> = <0, 11>

3<0, 8> = <0, 24> → <0, 12>

3<0, 9> = <0, 27>で、第1桁からの桁上がりのない1/4の場合は、<0, 26/2> = <0, 13>。第1桁からの桁上がりのある時は、<0, 28/2> = <0, 14>

3<0, 10> = <0, 30> → <0, 15>

3<0, 11> = <0, 33>で、第1桁からの桁上がりのない1/4の場合は、<0, 32/2> = <0, 16> = <1, 0>。第1桁からの桁上がりのある時は、<0, 34/2> = <0, 17> = <1, 1>

3<0, 12> = <0, 36> → <0, 18>

3<0, 13> = <0, 39>で、第1桁からの桁上がりのない1/4の場合は、<0, 38/2> = <0, 19> = <1, 3>。第1桁からの桁上がりのある時は、<0, 40/2> = <0, 20> = <1, 4>

3<0, 14> = <0, 42> → <0, 21>

3<0, 15> = <0, 45>で、第1桁からの桁上がりのない1/4の場合は、<0, 44/2> = <0, 22> = <1, 6>。第1桁からの桁上がりのある時は、<0, 46/2> = <0, 23> = <1, 7>

　第2桁が偶数の場合は、操作の結果、交互に奇数、偶数が現れる。つまり、奇数、偶数の出現割合は全く同じである。第2桁が奇数の場合は、<0, 1>、<0, 5>、<0, 9>、<0, 13>の場合は、奇数が1/4で、偶数が3/4。<0, 3>、<0, 7>、<0, 11>、<0, 15>の場合は逆に偶数が1/4で、奇数の出現割合が3/4となり、こちらも総合的には奇数と偶数が全く同じ割合で出現することが分かった。

　(7)、(11)、(15)の場合も常にこのタイプが続くわけではない。途中で(1)、(5)、(9)、(13）が続くこともある。この場合は、このタイプの中で割る2の処理が加わることになる。(1)、(9)では1回、(13)では2回、(5)の場合は最低でも4回加えられる。また、(3)の場合は、(5)や(13)を経由することで内部処理が加えられることになる。このタイプ内の処理ではただ単に2で割るだけである。その前提として、第1桁は0~14の偶数になっていることである。単に2で割るだけなので、第1桁からの桁上がりはない。しかし、第2桁が奇数の場合は、第2桁を-1して、第1桁を+16する処理が必要となる。では、<第3桁、第2桁>について「割る2」の処理を計算してみよう。

<0, 0> → <0, 0>

<0, 1> → <0, 0>

<0, 2> → <0, 1>

<0, 3> → <0, 1>

<0, 4> → <0, 2>

<0, 5> → <0, 2>

<0, 6> → <0, 3>

<0, 7> → <0, 3>

<0, 8> → <0, 4>

<0, 9> → <0, 4>

<0, 10> → <0, 5>

<0, 11> → <0, 5>

<0, 12> → <0,6>

<0,13> → <0, 6>

<0, 14> → <0, 7>

<0, 15> → <0, 7>

16通りのうち、第2桁が偶数になるのが8通りで、第2桁が奇数になるのは8通りとなり、全く同じ割合になる。

　(3n+1)/2の処理と、単に「/2」（割る2）の処理のいずれでも、第2桁が偶数になるのか奇数になるのかの割合が全く同じである事が分かった。ということは、(11)(9)(11)(9)-(7)|(11)|(15): 3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 81/64のような偏った拡大傾向がずっと続くことはありえないということである。そして、(7)、(11)、(15)を出発したときでさえ、減少列の分岐の割合が多いので、分岐での偶数奇数の割合が同じであるなら、どのような列でも必ず縮小していくことが分かる。

桁を増やしてみよう

　ここまで、<第3桁、第2桁>で、(3n+1)/2の処理では、第1桁は0~15の奇数、「割る2」(/2)の処理では、第1桁は0~14の偶数という形で考えてきた。そして、第3桁は計算の最初は「0」である。今度は、第3桁が1~15の場合について考えてみよう。この場合には、(3n+1)/2あるいは、「/2」の処理をする際に、第3桁と第2桁の調整が必要となってくる。調整は最初に第1桁と第2桁の間で、次に第2桁と第3桁の間で行うものとしよう。すでに、第1桁と第2桁の調整は済んでいて共に偶数となっているものとする。(3n+1)/2の処理では、第1桁は最初は0~46、第2桁、第3桁は最初は、0~45の間の値になっているはずであるが、桁の数が「16~31」の時は元の桁を-16して、上の桁に+1桁上がりさせる。桁の数が「32~45（あるいは46）」の場合は元の桁を-32して、上の桁に+2桁上がりさせていて、既に、各桁の値は全て「0~15」の数字になっているものとしよう。この調整の際には、下の桁の偶数・奇数の割合に変化がない。なぜなら、±16、あるいは±32されるだけだからである。

　第3桁が偶数ならそのまま2で割ればよいが、第3桁が奇数の場合は問題となる。第3桁が奇数なら、第2桁を+16して、第3桁を-1する処理が必要であり、その上で2で割ると、第2桁が偶数になるか奇数になるかの割合は全く同じである。なぜならば、第2桁は+16されるだけで、2で割る処理をしたときの偶数奇数に全く影響しないからである。従って、計算結果の偶数奇数の割合は全く同じという結論は上で計算した場合と全く同じことになる。

　(1)、(9)が続く時は「/2」の処理が1回加わる。この場合は、第1桁は既に偶数となっているはずであるので、第1桁と第2桁の調整で第2桁を偶数にする。そして、第3桁が奇数なら、第2桁を+16して、第3桁を-1することになる。(13)の場合は2で割る処理がさらに1回追加される。この場合は、先程の第2桁の+16は1回目の割る2の処理の結果+8となり、新しい処理の結果が加わる。もし、第2回目の割る2の処理の前に、第3桁が奇数なら+16が加わることになり、2で割ると+8+4となる。ただ、各処理の間で各桁の間に調整が加わっていると考えれば、第1回目の内部処理と、第2回目の内部処理を別にして考える必要はない。

(3n+1)/2と/2の処理で偶数奇数はどうなるのか

　(3n+1)/2と「/2」の処理で各桁の数字がどのように変化するか見てみよう。ただし、ここでは第2桁以上の桁について考えているので、(3n+1)/2の処理では、実際には3n/2で計算している。3n/2は青色の矢印で表し、「/2」の処理は赤色の矢印で表した。偶数は2通りに分かれるがそのうち0、4、8、12は2つとも偶数になり、2、6、10、14は2つとも奇数となる。奇数は3つの場合に分かれるが、この内、1、5、9、13は2/3が偶数、1/3が奇数となる。これに対して、3、7、11、15は2/3が奇数、1/3が偶数となる。従って、偶数の場合も、奇数の場合も、3n/2と「/2」の処理で各桁の数字が偶数になるか、奇数になるかの割合は全く同じである。　

　タイプ遷移図を確認すると、全ての分岐は第2桁が偶数か奇数かによっていることが分かる。例えば、今第2桁が1だったと仮定してみよう。コラッツ操作の(3n+1)/2の処理（実際は2桁以上は3n/2）、「/2」の処理をするたびに第2桁は変化して行くが、その変化は上の樹形図のようになる。常に偶数・奇数が同じ割合で変化していくわけではないが、総合的に見ると、第2桁が偶数での分岐と、第2桁が奇数での分岐は全く同じ割合で発生していることになる。　

　これは、4桁の整数、5桁の整数、6桁の整数でも全く同じである。3n/2と「/2」の処理では、各桁の数字を小さい桁から順に2桁ずつ調整をして、桁を偶数に変えていく処理をして2で割るだけである。既に見てきたようにこの処理をすることによって第2桁が偶数になるのか奇数になるのかは全く同じ割合である。

　直下の桁との調整については以上であるが、今度は上の桁との調整について考えてみよう。全ての桁が0~15に調整され、更に下位桁から順次偶数に調整できたと仮定しよう。この段階で、当該桁の上の桁が奇数の場合、上の桁が-1され、当該桁は+16されることになる。その後、「割る2」の処理が1回行われると、+16は+8となる。タイプ1と9では、更に「割る2」の処理が1回加わる。この時、上の桁が偶数なら、+4となり、奇数なら+8+4となる。タイプ13の場合は、更に「割る2」の処理が加えられることになる。その結果当該桁の変化は、+8+4+2、+8+2、+4+2、+2のいずれかとなる。いずれの場合も当該桁の偶数奇数には変化がないことになる。

　では、(3n/2)(/2)、あるいは(3n/2)(/2)(/2)の処理の後に更に(3n/2)が加わった時はどうか検証してみよう。次に示すのは、(3n/2)(/2)(/2)の場合である。

3(+8+4+2)/2 = 42/2 = 21 → 21-16=5

3(+8+2)/2 = 30/2 = 15

3(+4+2)/2 = 18/2 = 9

3(+2)/2 = 6/2 = 3

となる。いずれの場合にも、桁下がりした分が奇数になるので、当該桁の偶数奇数が入れ替わることになる。しかし、これは入れ替わるだけなので、偶数になる割合と奇数になる割合が同じということはこれまでと同じである。(3n/2)(/2)についても同様に考えることができる。

拡張列を更に追跡すると

　既に示したようにタイプ7を起点としてコラッツ操作を施した場合は15/512が拡張傾向として保留とされた。最初の1/8を取り去ると、縮小と拡大の割合は49/64 : 15/64 = 49 : 15である。タイプ11を起点とした時の保留率は19/512である。最初の1/8を取り除くと、縮小と拡大の割合は45/64 : 19/64 = 45 : 19となる。

タイプ15の連続は必ずタイプ7になることが分かっている。タイプ15はやがてタイプ7になることが分かっているので、タイプ15からタイプ7を経て保留となる率を考えてみる。これは、1393/2048からいきなり15タイプが連続する率の1/2を引けばいいので、1393/2048 – 1/2 = (1393-1024)/2048 = 369/2048となる。縮小と拡大の割合は1679 : 369となる。

　タイプ7、タイプ11、タイプ15以外のタイプ1、タイプ3、タイプ5、タイプ9、タイプ13を起点とするコラッツ操作の連続では全て、起点となった整数よりも小さい整数にまで収束することが分っている。従って、小さい整数から順にコラッツ操作を施して1に収束することを証明していれば、証明済みの整数にまで収束させた時点で1になることを証明できたことになる。

　タイプ11は第2桁の数が偶数の時はタイプ1となり、奇数の場合はタイプ9となり、この後は縮小傾向となり、その後は拡大縮小を続けながらも全体的には小さな整数になっていく。しかし、最初のタイプ11からタイプ1、あるいはタイプ9に分岐の際に3/2した倍率がなかなか克服できない場合がある。つまり最初の一歩の3/2が克服できないわけである。タイプ11を起点とした時の保留率は19/64であり、45/64は倍率1以下にまで収束してしまう。では、一旦保留したところを起点として次の操作を始めるとどうなるか。ここでも、19/64は拡張して、45/64は縮小する。45/64は最初に克服できなかった3/2の分を克服しさえすればいいので、かなりの割合で倍率1以下にまで縮小することが分かる。これを図解すると次のようになる。

　コラッツ操作を続けると、縮小する整数のうち更に45/64は更に縮小し、19/64は拡張する。また、拡張する19/64のうちの45/64は縮小して、19/64は拡張する。縮小(reduction;R）と拡張(extension;E)の割合を考えてみよう。2回の操作のうち、縮小から拡張に進む場合と、拡張から縮小に進む場合は同じ割合で拡張・縮小すると考えると、共に(1/8)x(19×45)/64²となり、合計すると(1/8)x19x45x2/64²となる。この一連のコラッツ操作は1回ではないので、一連のコラッツ操作と呼ぶことにする。一連のコラッツ操作1回目の操作時点で45： 19 = 2.36842だった縮小と拡大の割合はどうなるだろうか。一連のコラッツ操作の2回目のERとREをどのように評価すべきだろうか。1回のコラッツ操作なら拡張は3/2、縮小は4/3と評価できるが、今ここで考えているのは保留と判断するまでの数回のつまり、一連のコラッツ操作の連続である。これをタイプ11で見てみよう。タイプ11で保留として残したのは(11)-(9)-(7)|(15)と、(11)-(9)-(11)-(9)-(7)|(11)|(15)の2通りの場合である。(11)-(9)-(7)|(15)の倍率は3/2 x 3/4 = 9/8、(11)-(9)-(11)-(9)-(7)|(11)|(15)の倍率は3/2 x 3/4 x 3/2 x 3/4 = 81/64である。縮小の割合はどうか。縮小率は最初の起点である(11)から(11)-(1)|(9)の分岐での3/2を倍率1以下に縮小させているので2/3と考えて良い。そうすると9/8 x 2/3 = 18/24、81/64 x 2/3 = 162/192となり、いずれも倍率は1以下になっている。以上のことを考えると、拡張と縮小の回数が同じREとERの場合は縮小しているということができる。そうすると、一連のコラッツ操作の2セット目の縮小と拡大の比は(45² + 2x45x19) : 19² = 3735 : 361 = 10.34626 : 1となって縮小する割合が大幅に大きくなっている。これは、縮小と拡大の回数が同数の場合を縮小としているためである。では、3セット目はどうか、RREなどの縮小2回拡大1回のタイプは全体として縮小し、EERなどの縮小1回拡大2回のタイプは全体として拡大しているので、2セット目程には縮小の割合が増えていないはずである。では実際に計算をしてみよう。(45³+₃C₁45²x19) : (₃C₂45×19²+19³) = 168075 : 55592 = 3.02337 : 1となる。今までの計算から、偶数セット目は縮小する割合が大きく増加し、奇数セット目は縮小する割合が少し小さくなるということが容易に想像できる。つまり、奇数セット目、偶数セット目で波のように大きくなったり小さくなったりしながら全体的として縮小する割合が徐々に大きくなっていくということである。

　4セット目では縮小と拡大の回数が同じRREEなどの項が6個生じてこれが全部縮小することになるので、縮小するのはRRRR＜1＞、RRRE、RRER、RERR、ERRR＜₄C₁＞、RREE、RERE、ERRE、REER、ERER、EERR＜₄C₂＞となり、拡大するのはREEE、EREE、EERE、EEER＜₄C₁＞、EEEEとなる。5セット目は、中間項のRRREEのような縮小3回拡大2回は縮小＜₅C₃＞、RREEEのような縮小2回拡大3回は拡大＜₅C₂＞となるので、4セット目程は極端な増え方をしないが着実に縮小の割合が増えていく。何故このように縮小の割合が徐々の増えていくかといえば、それは図を見れば明らかで、拡大から縮小へ移る矢印と、縮小から拡大に移動する矢印が交差している点である。ここで、拡大から縮小へ移動する割合と、縮小から拡大へと舵を切る割合が45 : 19の割合で縮小へ移動する割合の方が断然多いからである。従って、セット数を積み重ねるとその度に縮小の割合が増加していくことになる。また、偶数回と奇数回についても理由は明らかである。偶数回目は縮小と拡大の回数が同じ項が出来、これが全て縮小と判断されるので縮小の割合が増えるが、奇数回目は縮小と拡大の回数が同じ項は出来ず、平等に縮小が1回多い項と拡大が1回多い項ができるためである。

　タイプ7を起点とする場合でも同様に考えることができる。タイプ7を起点とする場合と、タイプ11を起点とする場合は、タイプ7から11へと分岐する時点で、3/2されていることである。従って、タイプ7を起点とする場合は、3/2の分だけ更に縮小しにくいと考えることもできるが、タイプ7を起点とする場合は、全く同じ割合でタイプ3からタイプ5、あるいはタイプ13へと分岐して縮小していくことを考慮すると、3/2の分については十分に相殺できていると考えることができる。タイプ7を起点とする場合についても、同様に図解してみよう。

　タイプ7を起点としてコラッツ操作を続けた結果1倍以下に縮小できずに保留とした割合が15/64なので、ここでタイプ7にまで戻ったと仮定して再度コラッツ操作を継続することにする。49/64は縮小し、15/64は拡大するものとして、タイプ11のように計算を図解すると次のようになる。

　タイプ7の場合に保留として残したのは(7)-(11)-(1)-(9)-(7)|(11)|(15)と、(7)-(11)-(9)-(7)|(11)|(15)の2通りである。(7)-(11)-(1)-(9)-(7)|(11)|(15)の場合の倍率は3/2 x 3/2 x 3/4 x 3/4 = 81/64で、(7)-(11)-(9)-(7)|(11)|(15)の場合の倍率は3/2 x 3/2 x 3/4 = 27/16となる。縮小と拡大が同じ回数の場合は81/64 x 2/3 = 162/192、27/16 x 2/3 = 54/48となる。出現率は162/192が3/64で、54/48が3/16である。出現率を加味すると、倍率は(162/192 x 1/5 + 54/48 x 4/5) = 1026/960で僅かに拡張していることになる。

　タイプ7の場合、1セット目（ただし、タイプ7からタイプ3-(5)|(13)の分岐についてはコラッツ操作2回）は、縮小と拡大の割合は、49 : 15 = 3.266667 : 1となる。

　タイプ7の場合は縮小と拡大の回数が同じ時は若干ながら拡大なので、RE+ERは拡大として計算することにする。2セット目は、縮小と拡大の比は(1/8)x(49²/64²) : (1/8)x(2x15x49/64² + 15²/64²) = 49² : (2x15x49 + 15²) = 2401 : 1695 = 1.42652 : 1となる。

　3セット目は縮小2回拡張1回は縮小、縮小1回拡張2回は拡張と分かれる。(1/8)x(49³+₃C₁x15x49²) : (1/8)x(₃C₂x15²x49 + 15³) = (49³+15×49²x3) : (15²x49x3 + 15³) = 225694 : 36450 = 6.19188 : 1となる。

　4セット目は図にはないが同じように計算することができるので、(49⁴/64⁴ + ₄C₁x49³x15/64⁴) : ₄C₂x49²x15²/64⁴ + ₄C₃x49x15³/64⁴ + 15⁴/64⁴) = (49⁴ + 49³x15x4) : (49²x15²x6 + 49×15³x4 + 15⁴) = 12823741 : 3953475 = 3.24366 : 1となる。

　タイプ7の場合は縮小と拡大の回数が同じ時は若干拡大気味なので、拡大として計算しため、1セット目と2セット目を比較すると、1セット目の方が縮小する割合が大きいが、奇数セット目の1セット目と3セット目を比較すると縮小率がどんどん大きくなり、また偶数セット目同士もセット数を積み重ねるごとに縮小する割合が段々と大きくなっていくはずである。

　最後に忘れてならないのは、タイプ11の場合は各ステップにおいて縮小する割合が45/64で拡大する割合が19/64であるが、実際は縮小する割合が更にステップ毎に大きくなっていることである。何故かと言うと、各ステップの分岐において縮小傾向として分けられた列のうち多くのものが倍率1以下にまで縮んでしまう。そのため、次のステップで拡大の方へ移行するはずの分の多くが拡大に移行しなくなり、ステップを踏む毎に縮小から拡大へ移る割合がどんどん減ってしまうためである。同じことはタイプ7やタイプ15についても言える。

　以上のことを考えると、一連のコラッツ操作を施せば施すほどどんどん倍率1以下に縮小する整数が増加することが分かる。

　タイプ7とタイプ11に関してはコラッツ操作を施せば施すほど、どんどん倍率1以下に縮小する数が増えていくのでやがてすべてのタイプ7とタイプ11の整数は1に収束する。そして、タイプ15の整数については、その整数が有限の数である限り、最上桁に”0″という偶数があると言えるので、やがてタイプ7に変容することが分かっている。従って、次のことが言える。

　ある整数を起点としてコラッツ操作を施していくと、起点となった整数よりも小さい整数にまで収束することが分かる。従って、小さい整数から順にコラッツ操作を施して1に収束することを証明しておくことができれば、全ての整数を1に収束させることができると言えたことになる。今、2桁の整数に関しては全て1に収束することが証明できているので、全ての整数について、その整数が有限の整数である限り1に収束することが証明できたことになる。

1. タイプ15の連続は必ずタイプ7になることは分かっているので、タイプ15の連続を除いてみよう。計算すると1617/16384 = 0.098693848 ≒0.1となるので、拡大列は1/10で、残りの9/10は縮小列になるということが分かる。 ↩︎
2. 実際に計算してみたがコンピュータの限界を超えてしまうかも知れないような膨大な計算量になってもまだ倍率1以下にはならないものが多く残った。そのため本論文で記述することは控えることとした。しかし、計算が進めば進むほど、倍率1以下になる列の数も着実に増えていくのでやがては全ての列が倍率1以下になるのだろうことは容易に予想できる。 ↩︎
3. (11)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15)が収束するとしても、出発点を(7)にして、(7)(11)(1)(9)-(3)|(7)|(11)|(15)とするととたんに怪しくなってしまう。 ↩︎